SOBRE UN PROBLEMA DE LA TEORÍA DE LOS ERRORES 19 



es decir del punto observado á nn punto del continuo. Este cuadrado es 

 mínimo cuando el punto corregido es la proyección sobre el continuo 

 del punto observado. Debemos pues desviar los puntos observados en 

 una dirección normal al continuo. Los parámetros de este continuo 

 deben ser tales que la suma de los cuadrados de las distancias de los 

 puntos á él sea un mínimo. Deducimos de aquí que debe pasar por el 

 centro de gravedad del sistema de puntos. En efecto consideremos dos 

 continuos lineales de n — 1 dimensiones, paralelos entre sí y distan- 

 tes uno de otro A. Uno de ellos pasa por el centro de gravedad. La 

 suma de los cuadrados de las distancias de los puntos observados á 

 este continuo es 2"^^; para el otro continuo esa suma es 



I (J zi= Ay = IJ' ± 2 A IJ -^ n X' 



n siendo el número de puntos. Pero puesto que el primer continuo 

 pasa por el centro de gravedad se tiene 2" J = O y por tanto 



J(zJ ±Ay = IJ' + nAl 



cuya cantidad es mínima cuando A = 0. 



Traslademos el origen al centro de gravedad del sistema de puntos 

 y sigamos designando por x,y,z, w las coordenadas transforma- 

 das. El cuadrado de la distancia del punto XiyiZi Wi al continuo 



ax-\-fiy-\-ys-{- -\- (uw^O 



es 



(aa;i + /92/i + r2i+ + <^ iV^f 



la cantidad que hay que hacer mínimo es pues 



I(ax -\- ¡3y -^yz -{- -\-cuíoy 



con la condición 



«' + ,'' + r'+ + «>^ = i 



Si llamamos K una indeterminada las ecuaciones que nos dan a, /?, 

 Y, (O y K serán 



