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K. PETE. 



Diese Determinante ist auf Grund der Voraussetzung, daß die 

 Matrix a^j. vom Range ^ ist und mit Rücksicht auf den Zer- 

 legungssatz von Laplace gleich Null, wenn y = x^.,{Ti = \,2,...,^). 

 Da aber dieselbe ein Polynom vom Grade ^ ist, so ist notwendig 



B = A{y- x^) (y-x^) ...(y- x^J , . 



wo Ä von y und von x^, x^, . . . , x^^ unabhängig ist. 



Wenn wir daher die Koeffizienten berechnen, mit denen in 

 der Determinante D die verschiedenen Ausdrücke 



(— l)"~^2/*a;/.j Xr,_ 



^r^i-k 



{r^, ^2; • • • sind verschiedene Zahlen der Reihe 1, 2, . . ., /u-) mul- 

 tipliziert erscheinen, so erhalten wir für diese Koeffizienten sämt- 

 lich gleiche Ausdrücke und somit eine Reihe von Relationen 

 zwischen den aus der gegebenen Matrix gebildeten Determinanten 

 vom Grade ^i. Die einfachste und auch die wichtigste Rela- 

 tion folgt aus dem Vergleiche der Koeffizienten von ^'" und 

 ( — lYx-^x.^. . .X . Wir erhalten so, wenn wir der Kürze halber 

 die Bezeichnung 



«■1 ; <2 ; 

 ^1 ' ^2 7 





%A7 "^HHl 





^>f.ikl ^if.LH') • • ■ 1 



a. 



't-iJn 



einführen, diese bekannte Relation: 



Ji^ J2 . 



7 Jjil 



k} k: - ■ ■ ) > 



hy hl 

 \ 7 \ 7 





^1 j ^2 7 • • • 7 7 



J17J27 • • • >Jl 



* Wenn die gegebene Matrix symmetriscli ist, d. h. wenn aik = (^kii 

 so haben wir sogleich durch Spezialisierung 



^1^,1^, ... ,1^1 \l^,\, . . . ,l^J \Zj , Zg , . . . , Z„ / 



woraus der für quadratische Formen wichtige Satz folgt, daß die Haupt- 

 subdeterminanten vom Grade /a bei einer Matrix vom Range yb, inwiefern 

 dieselben von Null verschieden sind, insgesamt (für reelle a^^ gleiche Vor- 

 zeichen haben. 



