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soll für alle lineare Substitutionen gelten, welche ich im Folgenden 

 benutzen werde. Wenn man auf die Veränderlichen y^. eine neue 



Substitution anwendet 



z = B{ji) 

 oder anders geschrieben 



(2)) z, = \^y^ + • • • + \,y,, l = l,2,...n 



und wenn man für y,^ aus (1) einsetzt, so sieht man sogleich, 

 daß zwischen Zj^ und x^ die Beziehung besteht: 



(3) Z=C{X), Sj^ = C^-i_X^^ VCkn^nJ k == 1 , 2 , . . . , U , 



wo 



(4) C^i-akl(^U-\-h2(^2l-^---hn(^nl- ^ , l - 1 , 2 , . . . , U . 



Dabei gilt für die Determinanten | c,.^ | , | &i.j | , | a^i I ^^^ ^^' 

 lation I c^2 1 = I &Ä J • 1 %z I ; diese Relation soll mit Hilfe von (4) 

 immer im Folgenden die Vorschrift für die Multiplikation zweier 

 Determinanten und die Form ihres Produktes bestimmen. Die 

 Substitution C nennt man auch das Produkt der Substitution B 

 und Ä, und man schreibt C = JBA. 



Führen wir in (1) neue Veränderliche mittels der Substitution 



ein, so erhalten wir mittels einer leichten Rechnung eine Re- 

 lation zwischen y' und x', welche man auf Grund der angenom- 

 menen Bezeichnung in der Form 



(6) y'=T-^AT{x') 



schreiben kann. 



Und dann gilt, wenn die Wurzeln fi^ , ^g , . . . , ft^ der Gleichung 



A, = für i'^h, 



voneinander verschiedene Zahlen sind, daß man immer der Sub- 

 stitution (6) die Form 

 (8) y'k = iikx'k Jc= 1,2, . . .,n 



geben kann. Diesen Satz kann man auch wie folgt aussprechen: 

 Man kann bei einer Determinante | Ä \ unter angegebenen Voraus- 



