EINIGE BEMEEKUNGEN ÜBER DIE DETERMINANTEN. 101 



Wenden wir auf diese Gleichung (bei gewissen Voraus- 

 setzungen über die Zahl a\^ den RADOSschen Satz an, so kennen 

 wir sofort die Wurzeln der Gleichung 



(19) |a':^"-d,^^l = 0; e,f^l,2,...N- ''_ ' 



ee " 



Wenn man aber die /-te Kolonne der linken Seite dieser 

 Gleichung mit der Zahl v, v^ . . . v^^^ = v^""'= 6)™' multipliziert, so 

 verändert man nicht die Wurzeln der Gleichung, und die Gleichung 

 erhält die Form 



(20) \a[r-%fx\ = Q; /^Jm 



Es hat also die Gleichung (20) die Wurzeln fi/^«), ^^('""^ . . . a'^'^ 

 wenn die Gleichung (17) die (voneinander und von Null verschie- 

 denen) Wurzeln ^i, ^i^, . . . ii„ besitzt. 



Betrachten wir endlich die Gleichung 



(21) i»iÄ-^-^^l = 0; i,]i = l,2,...n 



wo die Zahlen t^^. nur dadurch beschränkt sind, daß die Wurzeln 

 dieser Gleichung 



Sii.= für i^k 



(22) \ \, - d,,x 1=0; .-,^^=1,2,... n, ' _ 



ii 



voneinander und von Null verschieden sind. Dann kann man 

 auch nach dem Vorhergehenden zwei solche Determinanten \T\ 

 und 1 T~ ^ \ angeben, daß das Produkt 



l^~'l \hk\ \T\ 



eine Determinante ist, deren in der Hauptdiagonale nicht befind- 

 liche Elemente sämtlich gleich Null sind-, dagegen sind aUe 

 Elemente der Hauptdiagonale Ton Null verschieden. Infolge- 

 dessen hat die Determinante, welche dem Produkte 



gleich ist, die Form von (17) und ebenso erhält zugleich 



(24) I (T-i)(»') j . I a[f -'b[fx\'\ T('") | 



die Form der linken Seite der Gleichung (20). 



