EINIGE BEMERKUNGEN ÜBER DIE DETERMINANTEN. 



103 



r 



(d. li. für unbestimmte a^j. und ^^J erfüllt und bleiben daher auch 

 dann erfüllt, wenn die Zahlen a.,., h-^ beliebige spezielle Zahlen- 

 werte erlangen, und der resultierende Satz gilt ohne jede 

 Beschränkung. 



III. 



Die Sätze des vorangehenden Abschnittes können auf ver- 

 schiedene Weise zur Ableitung verschiedener Determinantensätze 

 angewendet werden. Ich führe einige Beispiele an. 



1. Es seien zwei Formen gegeben. 



(29) \ai,x-h'b,,tj\==II{a,x + ß,y), i,l,l =- 1,2, . . .n, 



i 



(29') I c,^^,x + d,^^,^y\ =-n{rv,^ + ^v^v), i'uK, ^i'= 1'; 2', . . . w/ 



und bilden wir die Determinante 



Matr. (a^j^x ■-{- h^^y) NuUen 



Nullen I Matr. (a,^,,,^x + d,,,Aj) 



Diese Determinante ist gleich dem Produkte der linken 

 Seiten von (29) und (29'). Wenden wir auf diese Determinante 

 den Satz aus dem vorangehenden Abschnitte für m = 2 an. Die 

 Kombinationen der zweiten IQasse aus den Zahlen 1, 2, . . . n, 

 1', 2', . . . n\ stellen wir in drei Gruppen zusammen: 



a) AUe Kombinationen der zweiten Klasse der Zahlen 1, 2,...n. 



b) AUe Kombinationen der zweiten Klasse der Zahlen 1', 2' ,... w/. 



c) Alle Kombinationen der zweiten Klasse von solcher Art, 

 daß das erste Element eine von den Zahlen \,2, . . .n, das 

 zweite Element aber eine von den Zahlen \' , 2' , . . . n^ ist. 



Dann erhält die zu (30) adjungierte Determinante, wie leicht 

 einzusehen, für m = 2 diese Gestalt: 



(30) 



Matr. {affX + Vf)y) 



Nullen 



Matr. (cj),,^ + df)^,y) 



Nullen 



(»^)2 



(«1)2 



Matr. («.,c,^,,^,^ + &.,^.,,^,2/) 

 nn'^ Kolonnen. 



