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Diese Determinante ist aber dem Produkte dreier Determi- 

 nanten gleich und durch wiederholte Anwendung des Satzes aus 

 dem vorangehenden Abschnitte erhalten wir, daß 



(32) I a,j^c,,^^,x + \A,.j,.y \ = Ilis^xYi^^ + ^i^i^y); 



i, Je, l -= 1,2, .. . w; '//, \', Z/ = V, 2', . . . n-^. 



Bei der Zusammenstellung der Determinante auf der linken 

 Seite muß darauf geachtet werden, daß alle Elemente einer Zeile 

 zu demselben Paare {i, i^') und alle Elemente einer Kolonne zu 

 demselben Paare (k, \') gehören, und daß die Reihenfolge der zu 

 der ersten, zweiten, . . .n ■ w/-ten Zeile zugeordneten Paare {j',\) 

 identisch sei mit der Reihenfolge der zu der ersten, zweiten, . . , 

 n • viy- ten Kolonne zugeordneten Paare (^, Ä^'). 



Aus der Gleichung (32) folgt z. B. durch Vergleich der 

 Koeffizienten von x^'^'^' mit Rücksicht auf die Koeffizienten von 

 x^ resp. ^"i' in den Gleichungen (29) und (29') die Relation 



i,li =\,2 , . . .n, 

 1 «i^^zv^.' 1 = 1 ^i^ I "' I ^^VV I "5 ^-^ -^^ _ ;l', 2', . . . w/, 



welche als KRONECKEEsche Relation bezeichnet wird* 



2. Aus dem Vergleiche der Koeffizienten verschiedener Po- 

 tenzen von X auf beiden Seiten der Gl. (26) und (27) folgen ver- 

 schiedene Determinantensätze. Wählen wir z. B. &j^=0, falls 

 ^ > ^7 (g ^ m, g < }%). Ordnen wir dann die Kombinationen der 

 w-ten Klasse aus den Zahlen \,'2,...n so, daß wir zuerst alle 

 Kombinationen aus den Zahlen 1, 2, ... g und hierauf alle übrigen 



* Zitat nach der EncyTd. der matli. Wissensch. I A. 2 S. 40; franz. Aus- 

 gabe p. 99. Die Wichtigkeit, welche auf dieser Stelle dem Satze von 

 Kkoneckek beigelegt wird, scheint mir übrigens nicht berechtigt; denn der 

 Satz von Kronecker (sowie auch die entsprechende Art von Komposition) 

 ist nur ein ganz besonderer Fall des Satzes von Franke. Dieser lautet, 

 wenn wir die Bezeichnung des Textes benutzen 



'Vl-l^^-i-l e,f=l,2,...,N. 



Aus diesem Satze folgt der Satz von Kronecker nach demselben Vorgange, 

 nach welchem wir zu (32) aus (26) und (27) gelangten. 



