154 LUDWIG DAVID. 



a) Die bezüglichen Resultate finden sich in dem GrAUSSschen 

 Nachlasse fast ohne Beweise und diese Beweise können wohl auch 

 neben den wertvollen Notizen Scherings als verloren gelten. 



b) Durch das bezeichnete Verfahren gelingt es, die Algo- 

 rithmen im Bereiche der komplexen Zahlen zu behandeln. 



c) Wir können direkt von dem verallgemeinerten Algorith- 

 mus ausgehen, wodurch die Darstellung bündiger, das Verhältnis 

 der beiden Algorithmen zueinander durchsichtiger wird. 



Wir definieren vier, sich nach zwei Richtungen ins Unend- 

 liche erstreckende Folgen: 



(n = 2, -1,0,1,2, •■ ■), 



WO 



und II ^0 ein willkürlicher Proportionalitätsfaktor ist. Der Ko- 

 effizient von ]/ — 1 in co^, und demnach auch in (o^, ist positiv. 

 Aus der Darstellung der Funktionen %•■ durch unendliche 

 Reihen*: 



^ooK; cjJ = 1 + 2g„ cos 2jrv„+ 2g/ cos 4jrv„-|- 2g„9 cos 6;r «;„ + ••• , 



-^oiK; «J = 1 - 2g„ cos 27cv^ + 2g/ cos 4;tv^- 2g/ cos 6;ri;„ + • • • , 



'^ioKj03j = 2g^4 cosjr?;„ + 2g„4 cos 3jrt;„ + 2q^^ cos 5:tv„+- • •, 



i 9_ 25 



'ö'iiK? «J = 2g„4 sin ;r^;„ - 2g^4 sin 3jtv„ + 2g„4 sin 5;r?;„ , 



wo 



g, = e^^-», limg„ = 0, 



folgt zunächst, daß 



lim ^l^{v^, (oj = lim ?^l(y^, « J = 1 ; 



* Siehe etwa H. Weber, EUipt. Funktionen usw. (1891), S. 64—65. 



