THEORIE D. GAUSSSCHEN V. U. SP. ARITHM.-GEOM. MITTELS. 157 



'^n + l^n + X 



K + lßn + l = (^nßn', ' K + 1^ n + l = rn^n\ 



O^nTn - ßn^n = Cni^^n + l + Tn + l) 7 



(6 a) 

 wo für ]/(ä^ usw. überall die Werte zu nehnieu sind, für welche 



V^n--Vß'n-Vyn'-V^ .^. 



= -^00^7 «J'-^oiK7 »J:^io(^«7 f-3j:'^iiK7 « J • 



Die Relationen (4) definieren den Lagrange -GAUSSsclien 

 Algorithmus des arithmetisch-geometrischen Mittels. Den, zufolge 

 (3)' zu diesem Algorithmus existierenden Grenzwert bezeichne man 

 mit M(a^, öj; M{a^, h^) heißt das arithmetisch-geometrische Mittel 

 der Zahlen ö^„, &„. Die Gleichung (1)' zeigt, daß 



WO V eine ganze Zahl und ^ =j= ö- 



Von Bedeutung ist die Entscheidung der Frage, inwiefern 

 die Anfangsglieder (z. B. a^, Öq) willkürlich wählbar sind. Der 

 Einfachheit halber wollen wir diese Frage nur für den eigent- 

 lichen Algorithmus des arithmetisch -geometrischen Mittels er- 

 ledigen. 



