THEORIE D. GAUSS SCHEN V. U. SP. ARITHM. GEOM. MITTELS. 161 





M{a, 



M + T ' 



n + v 



2- 



1 - 



iM{a, 



're + T" ' « + 



v)- 



ii^K+„,-c„+,,) 



iM{a, 



n + v> n + 1 



M(b. 



% c 





= 1 



= 2 

 = 1 

 = 1 



^K. ^) 



^^K^ iK) 



(2) 



Es findet dann z. B. die Relation 



2'' 



statt. 



Die erste der Gleichungen (2) hat auch Gauss abgeleitet*, 

 und zwar auf folgende Weise. Durch die Substitutionen 



2"a„ = ä_„, 2-\ = l_,, 2-c^ = c_^ (3) 



gewinnt man für ä^ und c„ denselben Algorithmus , der für a^ 

 und h^ definiert wurde. Es kann also jeder für a^ und h^ gültige 

 Satz auf a„ und c übertrafen werden. Setzt man nun in Glei- 

 chung (5) Nr. I — (^i-\-v) an die Stelle von (^n-\-v), so erhält 

 man die erste der Gleichungen (2). 



Auf dieselbe Weise, oder auch direkt mit Hilfe der Theta- 

 ßeihen, können wir den Gleichungen (3)' Nr. I die folgenden an 

 die Seite stellen: 



oo , lim = 1 , 



lim a_ 



« + = CO 



lim &_ 



M + = CO 



= lim c_ 



n + = X 



= 0. 



M + = 00 —n 



(4) 



Hierdurch können nun die durch die Ungleichungen (9) Nr. I 



ausgeschlossenen Ausnahmefälle erledigt werden. 



* 1. c. S. 397. 376. 



Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn XXV. 



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