THEOEIE D. GAUSS SCHEN V. U. SP. AEITHM.-GEOM. MITTELS. 163 



Vorzeichens eine effektiv brauchbare „Regel" angeben zu können. 

 Die Angabe einer solchen Regel wird erschwert durch den Um- 

 stand ^ daß -M(<^,j, &„), wie wir unten sehen werden j, durch ein 

 elliptisches Integral dargestellt wird, in welchem aber a^^ und & 

 nur im Quadrat auftreten. 



Sind «Q und 1)^ reelhpositiv, so geht aus den Untersuchungen 

 des Herrn SCHLESINGEE* hervor, daß (o^, bis auf die angegebene 

 Unbestimmtheit, rein imaginär ist. Demzufolge ist ra^, in ähn- 

 lichem Sinne, rein imaginär, somit a^, h^ und M{a.^, hj reell- 

 positiv. In der zweiten der Gleichungen (1)' ist daher in diesem 

 Falle §2 eines Wertes fähig, für welchen die rechte Seite auch 

 rein imaginär wird. 



Es sei 



^(««; - K) = /^i + «>2 • 



Die Zerlegung von co^ in reelle Komponenten ergibt, wenn 

 (8S2+I) eliminiert wird: 



Es ist also ft2>0, d. h. wenn das Argument von M{a^, — h^ 

 mit (p^ bezeichnet wird, so haben wir: 



< 93^ < TT, 



JfK,&Jsm9P„ = 2rJJf(a„, -&J|. ^^^ 



* 



Nicht uninteressant ist folgende Bemerkung. 

 Aus (4) Nr. I folgt 



I i ^^ '^n I "« 17 I I T / 1 I T /t I 



I «„+1 ! ^ ' "2 ' I ^»+1 1 = I y'^n 1 1 v^n I ; 



, I ^ hWiJ + ^«+i| ^ 1 /h«H-|^«i , [i/-|ii/r 



I «« + 2 I ^ 4 ' < Y [ V +\y^n\\ VK 



7, 1 _ I V^ i i l/jr I < 1 / l (^n\-\-\'b„\ _ 1-1/ I U/T- 

 f^n + 2 I — I V"'n + 1 I 1 y ^n + l I = |/ 2 ' ^ « ' ' »^ « 



* Über die GAusssche Theorie des arithmetiscla-geometrisclien Mittels 

 lind ihre Beziehungen-zur Theorie der elliptischen Modulfunktion. — Sitzungs- 

 berichte d. Preuß. Akad. d. Wissensch. zu Berlin. 1898. S. 346. 



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