164 LUDWIG DAVID. 



Also kann die Folge , einschließlicli der Grenze geschrieben 

 werden, wie folgt: 



= I^K, Ul- 

 li! 

 Die für die Tlieta-Funktionen gültigen Differentialgleicliungen 

 liefern interessante, schon Ton Gauss* notierte Resultate zur 

 Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels. 



Für den Logarithmus des Quotienten je zweier Theta-Funk- 

 tionen bestehen die Relationen**: 



2d log ||4^ = 2^^.^o'oK) ^^0 , '^sw. 

 Also haben wir (vergl. die erste der Gleichungen (1)' Nr. II) : 





und ähnlich: 



2^1og^^ = 2";r^^^^^^^^^^^^^^^)^log^^^^-^. 



Die Größe 



A = lin S ^ log v^ 



(1) 



2"c„^^''^"ö ö^ 



1 



^los^^ 



2 ■ ilf(a„,&Jilf(ao,Co) "= i^-K^Öo) 



ist demnach von n und gewissen Permutationen der a.^, h^, c„; 

 der absolute Betrag von A aber von sämtlichen Permutatiönen 

 unabhängig. 



* 1. c. S. 379—380. 

 ** Webek, 1. c. S. 60. 



