166 LUDWIG DAVID 



IV. 



Wir wollen jetzt den Zusammenhang unserer Algoritlimen 

 mit dem elliptischen Integral erster Gattung erörtern. Diesen 

 Zusammenhang hat für das komplette Integral schon Lagrang-e* 

 bemerkt; Gauss** gewann entsprechende Resultate für das Inte- 

 gral erster Gattung mit variabler oberer Grenze. 



Alle diese Resultate gewinnen an Durchsichtigkeit und All- 

 gemeinheit bei der folgenden Behandlung. 



Es sei 



*?« 



Un = (^n I - r^, TTVfl ^ • 2 ^ ' (^) 



J y a„^ C03- ^ -{- ßn" sm^ ^ 







2"a„?7„ = ^..„. (2) 



Durch Anwendung der Transformation (o,^^ ca^^ + 1) gehen 

 a^, ß^ der Reihe nach ineinander über. Wir bezeichnen die Trans- 

 formierten der U^^, ^^ durch Z7„; ^„, also 



Ü. = ß. f' ig =^, (la) 







2"&„Cr, = ^,.„. (2 a) 



Nach den Gleichungen (3) und (3') der Nr. I ist 



/' d^ Vn / d^ V, 



1 



= 7r5 (3) 







lim ^„ = lim ^„ = ^ lim ^^ . (4) 



Es sei analog 



^ f ^q^ (1') 



V yän^ COS^ qp -|- bn^ sin^ qp 



2>w„ = a„^„; (2') 



5'm 



^.« = «« ' 

 



* 1. c. 

 ** 1. c. S. 352. 388. 390. 



