168 LUDWIG DAVID. 



bestimmte Werte. Das Unendlich werden des Integranden kann in 

 der Tat durcli Übergang zu gewissen K^^^, (resp. -2"^ + J vermieden 

 werden, da wenn v positiv (vergi. Gleichung (3') Nr. I) 



lim%„ + , = 0, lim x;;^^ = 00. 



r = + CO 1' = + 00 



Dieser Übergang ist überflüssig, wenn von vornherein %^ = 0,1] 

 %^= 1, 0. Dann ist nämlich K^ = ^^^ Y' -^n^^y '^ • 

 Die für diesen Übergang notwendigen Relationen sind 



Nach Anwendung der Transformation (co^; 0«+ 1) bezeichnen 

 wir K^ durch K^. Dann ist (vergl. (5)) 



^« + 1 = 1 Ä +^n), K^1 = VKVK, 



und 



M{K^,KJ = ^- (8) 



Ahnlich folgt 



W„ + 1 = Y (W„ + Ü^) , *\ ^.1 = Vu^ VC; 



^K,*\) = '^o- (9) 



Also werden die Integrale —, Tp, als Quotienten zweier 



arithmetisch-geometrischer Mittel dargestellt. 



Es sei 



w„ = a. 

 ö 



2-7tu,^tv^; ■ (11) 



yJn 



y,^ r ^^ (10) 







2-7tü^ = w^. (IIa) 



[; =& r ^^ — , (10a) 



J y 0,1- cos-ip -j- an^sm^i{) 



Dann ergeben sich für die Amplituden ij/^, ip^, zufolge der 

 bekannten Definitionen, die folgenden Formeln: 



