L. DAVID, ZUR THEORIE DER ALGEBRAISCHEN ITERATION. 173 



hat dann bewiesen *, daß die unendlichen Folgen ^^a^ (r = i,...,'0, 

 («• = 0,1, 2,...) für n=-3,4, 5 gegen einen und denselben (reellen 

 nicbt negativen) Grenzwert konvergieren. Es ist also, wenn wir 

 auch den bekannten Fall n = 2 hinzufügen 



lim Wflj^ = lim {')a^ = . . . = lim (0^^ . (»=2,3,4,5) 



i =. er, / = CO i = (Xi 



Die Methode von Schapira ist eine direkte Verallgemeinerung 

 derjenigen, die Lagranre und GrAUSS zur Herleitung der Existenz 

 der gemeinsamen Grenzwerte für n = 2 benutzt haben. Direkt 

 wollte Schapira nämlich zeigen, daß die Differenz zwischen dem 

 größten und dem kleinsten unter den Elementen ^'^a^ (v = i,...,n) 

 Null für * = oü wird. Dies ist aber nur in den obigen Fällen 

 gelungen. 



Im Folgenden geben wir einen einfachen Satz, welchem als 

 ein spezieller Fall angehört, daß die unendlichen Folgen (%^(v = i,...,«)^ 

 (i = o,i,2,...) für jede n gegen einen und denselben Grenzwert kon- 

 vergieren, d. h. 



lim ^')ai = lim ^'^a^ = . . • = lim ('^a^ /2^ 



i = CO 2 = CO j = 00 ^ ' 



ist. 



2. Der erwähnte Satz lautet folgendermaßen: 



„Sind a/'), a^^'\ . ._., aj') (i= 0,1, 2,...) solche unendliche Folgen 



mit reellen nicht negativen Gliedern, für welche 



<' + ^^ = i«^ + «2(^^ + --- + «/^); (I) 



ai(^')>a/) (v = i,2,...,») (II) 



ist, so konvergieren diese Folgen gegen einen und denselben 

 (reellen nicht negativen) Grenzwert, d. h. 



lim a-^''^ = lim a^^^ = . . . = lim aj-^") 



i = 00 i = 00 4 = 00 



existiert." 



Denn nach Voraussetzungen ist 



a/o) ^ a^rn ^ ^^(2) > . . . ^ in inf. > , 



folglich existiert, als eine reelle nicht negative Zahl, lim a^^'\ 



i = cc 



* 1. e. § 2, 



