176 LUDWIG DAVID. 



ist* Wenn hier der Reihe nach v = 2, . . .,n — 1 gesetzt wird, 

 so finden wir mit Rücksicht auf (4) 



(%i^%2^--->^'X- (8) 



(»■ = 1,2,...) 



Die Folgen (%^ und ('^a,^ sind monoton: 



(0)«! > (i)aj > (%i ^ • . • ^ in inf., 

 ^""K < ^^K < ^^\ <--'<m inf. 



Numerische Beispiele zeigen , daß die anderen Folgen: ^')a^ 

 (i= 2,...,ra-i)^ (2 = 0,1,2,...) im allgemeinen nicht monoton sind. 



Endlich wollen wir den Ausdruck lim ilf(Wa^^ .. .^ (O^^J be- 

 trachten. 



Es bezeichne (%^(r = i, . . .,7i) die Elemente, welche aus (%i,..., 

 (%„, und W«,, (i' = i,...,« +1) die Elemente, welche aus (%^, . . ., 



^^^CL,^, ^^^(('n + i entstehen. Das Summenzeichen sei ^, resp. ^ . 

 Wenn 



(% > (0)^^ > • • • ^ ^X > ("^»„ + 1 > • • • ^ in inf. > 



ist, so gelten die folgenden Ungleichungen: 



^\>^'K, ^'\>^'K^i- (9) 



{v = l,...,n) (i = l,2,...) 



Schreiben wir (^)a^, = a^. Bei i = 1 ist die zweite Ungleichung: 

 a^ttg • • • ^ra ^ *n + i evident. Die erste Ungleichung behauptet für 

 i = 1, daß 



(«) (n + l) (m) 



(^ + l)r^Ö^r, •••«., ^ W.^«., •••«.,= 0*)v^«^ • • • Ö^^, 



(«) 



ist, d. h. 



in) («) 



1/^a^^ . . . a^^ > (w - 1/ + l)a„^i ^a^^ . . . a^^_^ . 



Jedem Produkt a„,.a„ . ■ • o,„ auf der rechten Seite ent- 

 spricht ein einziges, nicht kleineres Produkt a-^a^ ■ • ■ % ^^^ 



* Diese Ungleicliiang kommt schon bei Stieltjes vor: Ckelle, Bd., 89, 

 S. 343. 



