Tan^. 5 = i. ^ 



59 



R3 



p(R2 



où R est le rayon de la sphère osculatrice; r le rayon du cercle 

 osculateur ou de première courbure ; p le rayon de flexion ou 

 deuxième courbure, lequel est égal comme on sait au rapport 



— ; u étant l'angle des deux plans osculateurs consécutifs , et 

 ds 



ds l'élément de la courbe. 



Cette détermination de la déviation des courbes à double 



courbure complète une théorie de la déviation dans les courbes 



planes et dans les surfaces, qui a été soumise en 1840 au juge- 



meut de l'Académie des seieuces de Paris, et insérée par extrait 



dans le Journal de mathématiques ^ de M. Liouvilie, pour 1841 . 



Séance du 12 août 1848. 



GÉOMÉTBiE ANALYTIQUE. — M. Bonuct communîquè la dé- 

 monstration suivante du théorème de Meunier, d'après lequel 

 l'héliçoïde gauche est de toutes les sui faces gauches la seule 

 qui ait en chacun de ses points ses deux rayons de courbure 

 principaux égaux et de signes contraires. 



Supposons le problème résolu et considérons sur la surface 

 trouvée, en même temps que Its génératrices rectilignes , leurs 

 trajectoires orthogonales ; d'abord ces lignes seront équîdistan- 

 tes entre elles et auront en chaque point leur plan osculateur 

 tangent à la surface, c'est ce que l'on reconnaît aisément. 



Cela posé, prenons trois génératrices rectilignes infiniment 

 voisines ; soient mm' et m'm" les deux éléments qu'elles détermi- 

 nent sur une première trajectoire orthogonale et nn', n'n" les 

 deux éléments qu'elles détermineoit sur une seconde de ces li- 

 gnes tout-à-fait quelconque par rapport à la première; si l'on 

 exprimie, comme cela doit être, que la normale à la surface au 

 point n est perpendiculaire à n'n" ou trouve que l'angle de mm' 

 avec nn' est égal à Pangle de m'm" avec n'n" ; d'ailleurs le pre- 



mnr 



mier de ces angles a pour tangente — . en appelant r et R 



R(r — mn) 



les rayons de première et de seconde courbure de la première 



trajectoire orthogonale au point m. De là on conclut que cette 



