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nouveaux rapprochements, et de nouvelles substitutions de dé- 

 monstrations aux choses démontrées que l'on invoquait encore 

 comme lem mes, amènent de nouvelles suppressions, dont on est 

 souvent tout étonné; et l'on obtient finalement, après un travail 

 qui n'est qu'une affaire de temps et de patience, la démonstra- 

 tion la plus simple du théorème, au moins parmi celles qui se 

 basent directement sur les premiers principes, et qui, à égale 

 brièveté, sont toujours très préférables aux autres, 



«Rien n'empêche, ensuite, de grouper en lemmes, communs à 

 d'autres démonstrations, une partie des raisonnements dont elle 

 se compose. On aura, ainsi, les démonstrations les plus simples 

 et les plus directes parmi celles qui, pour abréger, invoquent des 

 vérités déjà démontrées. 



» On se convaincra bientôt que, sauf ce qui peut être attribué 

 à l'imperfection du langage , tout théorème simple est suscep- 

 tible d'être démontré simplement. 



» Quelquefois les démonstrations qu'on veut réduire ainsi se 

 basent sur des théorèmes analytiques, tels par exemple que celui 

 qui établit la possibilité d'intervertir l'ordre de la différentia- 

 tion d'une fonction par rapport à ses deux variables, etc. On ne 

 doit pas, pour cela , changer de méthode. En substituant tou- 

 jours à ces théorèmes leurs démonstrations, et en les traduisant 

 géométriquement, s'il s'agit de géométrie, on verra les réduc- 

 tions s'opérer. 



» Divers moyens se présenteront, fui reste, d'abréger les re- 

 cherches. Ainsi, quand on connaît, du même théorème, plusieurs 

 démonstrations qui sembleist très différentes, la recherche de ce 

 qu'elles ont de commun au fond se! a un bon moyen d'arriver 

 au but proposé. 



» Le maximum de simpH^ ité sera att(ini, dans tous les cas, 

 quand les démonstratioDS trouvées se léduiront à définir les 

 grandeurs entre lesquelles Us théorèmes à démontrer établissent 

 des relations, et à tirer la conséquence immédiate de ces défini- 

 tions et des principes connus. On ne sautait croire combien de 

 démonstrations peuvent être amenées là, lorsque les définitions 

 isont bien faites. Ou peut même, réciproquement, y trouver des 

 indications^ titil^s pouç rectifier les déflaitions, » 



