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taux s'altérant facilement à l'air, on n'a pu encore déterminer la 

 position de leurs axes optiques. 



8° Aiguilles rhombiques accompagnant quelquefois l'azotate 

 double n° 2. Ces aiguilles se rapportent à un prisme rhomboïdal 

 droit de 95"/i0' environ dont les dimensions ne sont pas encore 

 parfaitement déterminées. Leur composition et leurs propriétés 

 optiques devront aussi être soumises à un nouvel examen. 



9° Azotate de lanthane ; cristaux roses très aplatis ; prisme dou- 

 blementoblique, W2^=118°30'5pnî=91o30' environ; y^=96o35'. 

 Ce sel demande aussi un nouvel examen pour en déterminer les 

 propriétés optiques. Les cristaux qu'on en a obtenu jusqu'ici sont 

 moins nets que ceux des autres sels de lanthane et de cérium . 



Mathématiques. — M. Catalan communique les propositions 

 suivantes, relatives à la théorie des séries (1). 



Théorème I. Soit f{x) une fonction positive et infiniment dé- 

 croissante, au moins à partir de a?=0 ; soit F [x) la fonction pri- 

 mitive de fi^x]) on aura, en désignant par S„la somme des n pre- 

 miers termes de la série /(l), /(2), /(3),. .. : 



Théorème IL S„> F(» + 1 ) — F(l)+ir/-(l)4 f{n) , 



Théorème IIL 



S„>F(^-l)-F(l)+^/(l)~l/(2)+^/(n-l) 



S«<F(n;-F(2)-|-~/(l)+^/l2)-^ /(/i-l). ^ ^^^^ 



(1) Quelques-unes de ces propositions sont connues ; mais, comme on les 

 démontrait ordinairement en employant le calcul intégral, il paraissait diffi- 

 cile de les faire entrer dans l'enseignement élémentaire. 



