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» un plan principal. Tous les pôles de transformation satisfai- 

 » sant à cette condition sont sur une sphère. 



4. « Lorsqu'une surface est de révolution, sa transformée 

 » a un plan principal et admet une infinité de pôles de trans- 

 » formation situés en ligne droite. » 



5. « Réciproquement, lorsqu'une surface a une infinité de 

 » pôles principaux en ligne droite, on peut la transformer 

 » d'une infinité de manières en surfaces de révolution ; les 

 » pôles de transformation satisfaisant à cette condition sont 

 » sur une circonférence située dans le plan principal que pos- 

 » sède nécessairement la surface. » 



— A l'occasion d'une communication faite à l'Académie 

 des sciences relativement aux ombres des surfaces hélicoïdales, 

 M. Bour énonce ie théorème suivant : 



Considérons l'héliçoïde qui forme la surface du filet de la 

 vis triangulaire et l'intersection d'un cylindre circonscrit à 

 cette surface avec un plan perpendiculaire à l'axe de la vis. 



Cette courbe, qui limite l'ombre portée par la surface héli- 

 coïdale sur le plan, jouit de la propriété d'avoir pour caustique 

 une cycloïde, et cela quelle que soit la direction des généra- 

 trices du cyduidre circonscrit. 



En d'autres termes, si l'on considère, dans le plan de la 

 courbe que nous étudions, des rayons parallèles, perpendicu- 

 laires aux génératrices du cylindre d'ombre, ces rayons venant 

 se réfracter sur cette courbe se trouveront ensuite être tous 

 normaux à une certaine cycloïde, ou, si l'on veut, tangents à 

 une autre cycloïde inversement placée. 



Appelons hle pas de la vis ; a l'angle que fait avec l'axe de 

 cette vis la droite génératrice de la surface hélicoïdale; & l'an- 

 gle formé avec le même axe par la direction des génératrices 

 du cyhndre circonscrit : 



1"» Le diamètre du cercle générateur de la cycloïde est 

 h tg & ; 

 27r 



2» L'indice de la réfraction convenable est 

 t2 b ' 



