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\ " entre S et S -h w„ ; «^„ = Un. 



2" entre S ""''+' et S !!!HlL_; V = M'n- 



(2) ( ^ ^n+1 j _ Mn + 2 



La conception et l'interprétation de ces formules n'offrent 

 aucune difficulté quand la série proposée est convei-gente : alors 



S est la somme de la série, c'est-à-dire que l'on a : S =: lim Sn. 



Quand la série proposée est divergente, ou simplement non 

 convergente, les formules (^) et (2) trouvent encore leur emploi, 

 mais sous la réserve de quelques explications nécessaires. — 



Toute série numérique Wi -f- ^2 4- W3 -j- peut être 



considérée comme correspondant à une valeur particulière (/(-l) 

 par exemple) d'une certaine fonction (connue ou inconnue) / (a:) , 

 supposée développée en série générale. Lorsque la série sera 

 convergente, il y aura identité entre elle et la fonction, c'est-à- 

 dire que l'on aura : S = «i -f- W2 -1- ^3 -h • =/(■•)• 



Mais, quand la série sera divergente ovinonconveïgente,VïÙQX\\\\é 

 n'existera plus, puisqu'une série divergente n'a pas de somme. 



Dans le cas donc où la série proposée sera divergente, dans 

 les formules (-1) et (2), il ne faudra plus considérer S comme 

 représentant une somme (qui n'existe plus), mais comme repré- 

 sentant /(l). Cette interprétation n'engendre pas de non sens et 

 n'offre rien de contradictoire. 



Soit, pour exemple, la série divergente : 



, \ -12 3 _ ^ _ 



^^^ 2-3-^4- +^rrr-^ 



On peut la considérer comme cas un particulier de la série 



J^ 2 2 o 



~x — -rx^ — , développement d'une certaine fonc- 

 tion f{x), qui est convergent pour x^K^ et divergent pour 



Eh bien, en appliquant à la série (3) d'abord les formules (1), 

 la valeur qu'on trouvera pour S ne sera pas une somme, mais 



