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puis à trois équations différenlielles du troisième ordre non li- 

 néaires dont les intégrales, à la suite de substitutions et de ré- 

 ductions considérables, ont fourni finalement pour les déplace- 

 ments des points de la fibre moyenne trois formules très-sim- 

 ples, calculables par quadratures quelle que soit la forme pri- 

 mitive de la tige, où ne figurent plus ces angles e et ces rayons 

 des deux courbures que nous avions fait entrer dans notre ana- 

 lyse pour y arriver (^). Elles comprennent celles de Navier re- 

 latives aux pièces courbes planes, et nous les avons appliquées 

 à divers cas de flexion et torsion d'un anneau par des forces per- 

 pendiculaires à son plan. 



Nous avons dit alors qu'elles pourraient être vérifiées, et éta- 

 blies directement, en remarquant que leurs divers termes re- 

 présentent de petites rotations des éléments de l'axe de la tige 

 autour des axes coordonnés en vertu de l'action des forces ex- 

 térieures (2\ 



Cet établissement direct a été effectué avec bonheur et luci- 

 dité par M. Bresse, un de nos successeurs au cours de l'École 

 des ponts et chaussées, qui a considéré et composé ensemble les 

 effets des rotations relatives, non de ces éléments, mais des sec- 

 tions auxquelles ils étaient normaux. Ses formules, données en 

 tête (!e la deuxième partie de son livre (3), reviennent aux 

 nôtres, car on les obtient immédiatement de celles-ci au moyen 

 d'une intégration par parties, et en composant ensemble, en une 

 flexion unique, les deux flexions que nous prenons autour des 

 axes principaux d'inertie des sections ; flexions composantes 



miiive et ultérieure des inverses des rayons de courbure de la projec- 

 tion de la fibre moyenne sur un plan perpendiculaire au même axe priu- 



cipal de la section. Cette différence est,pour l'un d'eux, — L_E_^ — ^l^" 



avec les notations ci-dessus. 



(1) Formules (18) de la p. 1021 du t. XVII des Comptes rendus^ 

 avec leurs développements (20), où il convient de mettre -j- au lieu de 

 — devant les secondes parenthèses (vu le sens usité par les rotations 

 positives), et formules p. 45 du t. XIX. 



(2) M. Kirchhoff, en considérant une tige infiniment mince, a remar- 

 qué une grande analogie entre le problème de son équilibre et celui de 

 la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe {Journal de Crelle, 

 1859, t. LVI, p. 308.) 



(3) Cours de mécanique appliquée. Résistance des matériaux, p. 86. 

 Extrait de l'Institut, 1« Section, )863. 6 



