398 MANUEL TORRES TORIJA 



En resumen, que el crecimiento de la temperatura sea 

 proporcional a R 2 — r 2 . 



En este mundo los seres que existan, conforme se alejen 

 del centro, irán contrayéndose. Por lo tanto, como el pro- 

 blema puede tener solución infinitesimal, creerán que su 

 mundo es infinito aunque realmente es ilimitado y puede 

 ser del tamaño simple de una manzana. 



Este ejemplo notable hace ver las dificultades de enten- 

 der los conceptos de Geometría si se hace abstracción del 

 concepto fundamental de lo que se entiende por espacio. 



Como este ejemplo, abundan muchos, que omito dar y 

 que se encuentran en las magníficas obras de Poincaré. 



Ahora bien : la Geometría de Riemann es la Geometría 

 esférica extendida a tres dimensiones; el matemático ale- 

 mán ha tenido aún que rechazar el primer axioma : por dos 

 puntos solamente se puede hacer pasar una -línea recta, 

 pues hay puntos, como dos polos tomados diametralmente 

 opuestos, en que es posible hacer pasar un número infinito 

 de círculos máximos. 



Todo se reduce, pues, a interpretar en este mundo nuevo 

 las definiciones de una manera distinta a como las acepta 

 la Geometría Euclidiana. 



Resulta de aquí que en la Geometría de Riemann la suma 

 de los ángulos de un triángulo es mayor que dos rectos. 



En resumen : se tienen tres Geometrías, la de Euclides, 

 la de Lobatchewsky y la de Riemann. 



En la primera, por un punto se puede llevar una sola 

 paralela a una recta, la suma de los ángulos de un triángu- 

 lo suma dos rectos; en la de Lobatchewsky, por un punto 

 se pueden llevar varias paralelas & una recta, la suma de 

 los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos ; en la 

 de Riemann por un punto no se puede llevar ninguna para- 

 lela a una recta, la suma de los ángulos de un triángulo es 

 mayor que dos rectos. 



El ilustre matemático Beltrami ha probado que la 



