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56. Si sumamos las (52) y (5-4), las (53) y (54) y restamos 

 la (54) de la (52) y la (54) de la (53), observando además que 



sen } (p 4- q) -f eos }{p + q) = 



l ~señ 2 ¿ (p + <l) + cos2 i (P + l) +' ¿ sen 3 (P + ? ) cos ^ (í - 1 i 

 = ]/ 1 + 2 sen i(/T+ y) eos ¿ (p 4 g ¡ 



se tienen: 



sen^4- s en?-f cos/>-f eos 9; = 2 eos $ (/' — q )\/ 1 -\-8en(p-\-q) (82) 



sen p -{-sen 7 — cos 79 — cos q == 2 cos £ ( /? — 7 ) j i — sen(7?-f 9) (83 ) 



sen/> — sen q-\-cos p-\-cos q -=2co^ l(p^-q) \/ 1 -fsen (jo— 9) (82) bis. 



sen;? — sen 7 — eos;; — cos 9 ^r 2eos ^ (754-9) V 1 — sen (7? — q) (83) bis. 



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57. Multiplicación de ángulos. Conociendo las funcio- 

 nes goniométricas de un ángulo se quieren determinar las 

 funciones goniométricas de sus múltiplos. 



Seno y coseno Si en las fórmulas (30) y (32) hacemos 



u = #, u — 2x, etc., se tienen: 



sen 2 x = 2 sen x cos x=±2 sen Xj/;P_sen 2 2; — db 2 cos x ;/ 1 --- eos 2 x • • • ( 84 ) 



cos2x=:cos 2 íc — sen 2 a; — 1 — 2sen 2 x=--2cos 2 x— 1 (85) 



sen 3x — 3 sen a? coa 1 » — sen 3 x = 3senx — 4sen 3 x (86) 



eos 3 x — eos 3 x — 3 sen 2 x eos x = 4 eos 3 x — 3 eos x (87) 



58. Si se conocen los valores de sen (ra — 1) ce en función de 

 sen x y de cos x podremos tener los de sen m x y de cos m .r, pues 

 basta poner en (30) y (32) por u (m — l).r, de esto resultan: 



sen m x = sen x cos ( m — 1 ) x -\- cos x sen ( m — 1 ) x (88 ) 



cos mx — cos xcos{m = l)x 4 sen x sen (w — 1) x (89) 



