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61. Si en la expresión de sen 3 # (98) substituímos el valor 

 de sen 2 a; encontraremos directamente el seno del múltiplo 

 del ángulo simple, después este valor lo substituímos en la ex- 

 presión de sen4#. De un modo análogo ponemos por cos3# 

 su valor sacado de (99). Por estas substituciones sucesivas te- 

 nemos: 



sen x = sen x - » 



sen 2 x = 2 sen x eos x I 



sen 3 x = 4 sen x eos B x — sen x ( 



sen 4 x = 8 sen x cos $ x — 4 sen x eos x . 



(100) 



eos x — eos a; 



eos 2 a; = 2eos ? x — 1 



eos 3 x = 4 eos s x — 3 eos x 



eos 4 a; = 8 eos 4 x — 8 eos 2 x -\- 1 



(.. 



(101) 



62. Como vemos, eos 2 x está expresado en función racional 

 de sen ir y de cosa?; sen 2x no queda determinado por estar 

 expresado en función irracional de sen x o de eos x. Según 

 las fórmulas (18) y (24) los valores de sen 2 x son: 



sen (4 k tt -4- 2 x) = sen x, sen ( 4 A tt -f 2 n — 2 x) == — sen 2 ¿. 



63. Tangente y cotangente. — Si en las fórmulas (36) y 

 (37) se hace ¿ ^= u resultan: 



2 tan a; 2 ,-«.. 



tan2a; = - — ——- = —— 102) 



1 — tan 2 a; cota- — tan./- ' 



q,q\-x — 1 cota- — tan^; ,„«„, 



cot 2 * = ~ 2 Í5Í5- = ~ ~ < I03 > 



