POLIEDROIDE8 REGULARES DE CUATRO Y CINCO DIMENSIONES 227 



ticas todas en que se desarrolle y perfeccione tan eficaz instrumen- 

 to, aunque sea por medio de ficciones que del punto de vista de la 

 ¡neometría pura, carezcan de utilidad inmediata, como sucede con las 

 hipótesis hiíjergeométricas. 



Ahora bien, uno de los problemas más importantes de la geometría 

 multidimensional es la determinación de la forma de los ])oliedroides 

 ó sólidos regulares de los espacios superiores. Desgraciadamente, los 

 métodos empleados á este efecto por la generalidad de los autores son 

 más ó menos indirectos y complicados. Con el propósito de subsanar 

 estos inconvenientes hemos ideado el procedimiento más directo y 

 elemental que exponemos á continuación. Fundándonos en el teorema 

 de Euler generalizado, determinamos fácilmente todos los elementos 

 morfológicos de los poliedroides de cuatro y cinco dimensiones: nú- 

 mero de poliedros, caras y aristas que concurren á cada vértice, etc. 

 Un sólo punto no puede ser abordado con este método, es el cálculo 

 del número absoluto de vértices de los poliedroides de cuatro dimen- 

 siones ; pero en el quinto espacio esta laguna se llena sin dificultad, 

 gracias á la forma más conveniente que en este caso aféctala fórmulai 

 de Euler. 



I. — POLIEDROIDES DE CUATRO DIMENSIONES 



1. extensión del teorema de Euler á los sólidos regulares de cuatro di- 

 mensiones. — En virtud del teorema de Euler, si A ' , Y ' y C ' repre- 

 sentan el número délas aristas, vértices y caras de una figura R ' for- 

 mada j)or la yuxtaposición de varios polígonos convexos reunidos 

 en el espacio tridimensional sucesivamente alrededor de uno de ellos, 

 sin dejar lagunas, se tiene en general 



A ' = V ' + C ' — 1 (1) 



y cuando este agregado de ])olígonos constituye una figura cerrada^ 

 es decir un x>oliedro II : 



A =: V -H C — 2. (2) 



Ahora bien, supongamos que en el espacio cuatridimensional se 

 forme un agregado de poliedros, iguales todos entre sí, siguiendo un 

 procedimiento análogo al que ha servido, en el caso precedente, i^ara 

 formar la figura i)oliedral abierta 11 ', y tratemos de calcular el nú- 

 mero de aristas A'^, vértices V^ y caras C'^ contenidos en este 



