POLIEDROIDES REGULARES DE CUATRO T CINCO DIMENSIONES 229 



Por otra parte, couio el niimero de los sumandos numéricos es evi- 

 dentemente igual á P ' 4 : 



A', = V, + C, — P', — 1 (6) 



4 4 • 4 4 \ / ■ 



Esta es la forma en que se convierte la relación (1) cuando se pasa 

 del espacio tridimensional al cuatridimensional, considerando en lu- 

 gar de un poliedro u]i poliedroide abierto. Si este poliedroide es de 

 forma tal que pueda cerrarse mediante la adjunción de un nuevo j)0- 

 liedro cuyos elementos pertenezcan todos ya á uno ú otro de los po- 

 liedros precedentes, se obtendrá entonces un x)oliedroide propiamen- 

 te dicho, con A^ aristas, V^ vértices, C^^ caras y P^ poliedros compo- 

 nentes, siendo 



A, = A', 



4 4 



V, = V ' 4 

 C, = C ' , 



p, = p , + 1. 



4 4 ' 



Ahora bien, llevando estos valores á (6), se obtiene la fórmula de 

 Euler generalizada : 



A, = V, + C, — P, 



4 4 ' 4 4 



ó A, + P, = Y, 4- C, (7) ^ 



que puede enunciarse así : 



En todo poliedroide regular de cuatro dimensiones, la suma del número 

 de aristas más el número de poliedros componentes es igual á la suma 

 del número de vértices más el número de caras. 



2. Otras relaciones generales entre los elementos de los poliedroides 

 regulares de cuatro dimensiones. — Cada plano del poliedroide es co- 

 mún á dos poliedros, luego : 



20, = P,C. (8) 



Cada arista une á dos vértices, de manera que, si K es el número de 

 las aristas que concurren á cada vértice : 



2A, = KY,. (9) 



Si las caras están formadas por i^olígonos de n lados y ¡ji. es el nú- 

 mero de las caras que concurren á cada arista : 



[xA, = nC,. (10) 



En los poliedros, á cada vértice concurre igual número de caras y 



