POLIEDKOIDES EEGULAUílS DE CLATRO V CIXCO LUMENSIOXES 235 



se determina fácilmente K y r. ]mv medio de las fórmulas (13) y (14), 

 obteniéndose así los elementos del cuadro que sigue : 



;. K - 



Tri-tetraedroide , 



Tri-bexaedroide 4 4 (i 



Tri-dodecaedroide ' 



Tetro-tetraedroide 8 G 12 



Penta-tetraedroide 20 12 30 



Tri-octaedroide O S 12 



Derivado imaginario del icosaedro 12 20 30 



7. Número absoluto de los vértices. — Para determinar el número de 

 los vértices, aristas, caras y poliedros componentes, no basta in- 

 troducir los valores obtenidos para X, ;x, :: y /., en las ecuaciones (7) 

 á (15) aunque estén aparentemente en número suficiente para cal- 

 cular las incógnitas A^, P^, Y^, C^. En efecto, todas estas ecua- 

 ciones son homogéneas con respecto á diclias incógnitas, de ma- 

 nera que conducen solamente á relaciones de proporcionalidad. Si la 

 fórmula de Euler generalizada contuviese un término numérico, co- 

 mo la que se refiere á los sólidos tridimensionales, el cálculo de A^, 

 1*47 ^4 y ^4 lio presentaría dificultad alguna, pero á causa de la for- 

 ma desfavorable que afecta la relación (7), el método que acabamos 

 de desarrollar y que nos ba revelado tan fácilmente la morfología de 

 los vértices, aristas, etc., de los poliedroides, no se presta para la de- 

 terminación de los valores absolutos de estos elementos A^, P,, V^, C^. 



Hay que recurrir forzosamente á procedimientos menos directos y 

 más comj)licados. IsTo los reproducimos, ]>ara no quitar á este trabajo 

 el poco mérito que pudiera valerle su originalidad (*). Observaremos 

 simx)lemente que si se supone conocido uno solo de los elementos A^, 



(") Cuando descubrimos la generalizacióu del teorema de Euler, creíamos que 

 era nueva. Posteriormente la hemos encontrado mencionada en la G-éomótrie á qua- 

 tre dimensions de .Jouffret (pág. 99 y siguientes), con esta oV)servación : « Ce beau 

 théoréme parait devoir étre attribué a Stringham ; ou en trouvera la démonstra- 

 tion, daus VJnalysis Situs de Poincaré. » Hemos buscado esta illtima demostra- 

 ción, encontrando que era muy diferente de la nuestra, y á nuestro parecer, mu- 

 cho menos elemental. No conocemos la de Stringham, publicada en el American 

 Journal of Math, pero suponemos que ha de ser bastante complicada también, por 

 cuanto Jouffret no la reproduce en su obra especial sobre la materia. 



En cuanto á la aplicación que hacemos de este teorema, creemos todavía que 

 es nueva, á pesar del primer desengaño que acabamos de referir con la franque- 

 za que correspondía. 



