POLIEDROIDES REGULARES DE CUATRO Y CINCO DIAIENSIONE.S 239 



Estos resultados ])ueden expresarse mediante la fórnnila única 



11. Otras relaciones generales entre los elementos de los jwliedroides 

 regulares de cinco dimensiones. — Sean ', X ',-::' ,7. ' los números de 

 células tetradimensionales, poliedros, caras, aristas, que se juntan en 

 cada vértice del sólido i»entadimensional considerado. 



Como cada célula tetradimensional contiene Y ^ vértices : 



V..6 = Q, . V,^. (20) 



Como cada ])oliedro c<mtiene V vértices: 



Y,.X ' = P, . V. (30) 



Como cada cara contiene n vértices : 



Y„::' = C,.n. (31) 



Como cada arista contiene dos vértices : 



Y,,x' = 2A,. (32) 



De las relaciones (27), (29), (30), (31) y (32) se <les])rende esta otra : 

 -'Y,. , c^Y,. 7.'Y„ A 'Y.. 



Es de observar que una sección tetradimensional conveniente- 

 mente hecha en un sólido pentadimensional debe dar evidentemente 

 un poliedroide regular de cuatro dimensiones. Cada una de las células 

 que concurren al vértice debajo del cual se practica la sección, da en 

 este caso un xDoliedro ; cada poliedro una cara ; cada cara una. arista : 

 cada arista un vértice. Por consiguiente, los coeficientes O, k ' , -, /. ' 

 que figuran en la fónnula (33) deben tener respectivamente alguno 

 de los valores hallados anteriormente para P^, C^, A^, Y^ (párr. 7), 

 quedando entendido que en cada caso el sistema de valores atribui- 

 dos á 0, A ' , -K, 7. ' , debe corresponder á un mismo ijoliedroide regular 

 tetradimensional. 



12. Húmero de vértices que corresponde á cada uno de los diferentes 

 poliedroides de cinco dimensiones. — Para deducirlo de la fórmula (33), 

 basta en virtud de las consideraciones precedentes, considerar sucesi- 

 vamente cada una de las hipótesis que pueden hacerse sobre los valo- 

 res del sistema de coeficientes O, a', z', ■/.' y los del sistema w, Y,^, S. 



En otros términos, hay que examinar sucesivamente losresulta<l<íS 



