46 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



^ es un número abslraclo que varía con la forma del polígono, es 



prácticamente siempre superior á O, por ser S una cantidad posi- 

 tiva ; vamos á demostrar que en todos los casos es inferior á 1 por 

 el teorema que sigue. 



Teorema. — En un polígono cualquiera, la suma de los cuadrados 

 de las diagonales y de los dos lados que parten de un mismo vértice 

 es superior al doble de la superficie del mismo. 



Sean Iq ka los dos lados y el ángulo comprendido de un trián- 

 gulo, cuya superficie es 



s = ^ Iq ¡i sen «• 



Tenemos las desigualdades evidentes : 



1 1 



2 ^0 h sen a < I Iq I, 



cualesquiera que sean los valores de Iq^cí. Deducimos 



4S < Iq' + l^'. 



Consideremos un polígono cualquiera y descompongámoslo en 

 triángulos por el sistema de diagonales que parten de un mismo 

 vértice, tendremos llamando S la superficie del polígono, /o h ... In 

 los lados y diagonales considerados 



ó 2S < /o' + . . . + In' 



2S<S/~ Q.E.D. 



2S 

 De esta desigualdad sacamos ^^^ < i , y llamando © un número 



2jI 



