24 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



que decía, que la Geometría era una lengua muerta desde Euclides, 

 que el que no estudiaba esos Elementos, para saber Geometría, se 

 parecería al que aprendía latín ó griego en las obras modernas, 



2. Demostraciones directas. — Se ha pretendido, sin conseguirlo, 

 demostrar directamente el postulado de Euclides; ya tomando el 

 caso particular en que uno de los ángulos interiores es recto y el 

 otro agudo y bajando de esta oblicua perpendiculares á la secante; 

 ya comoLegendre reduciéndose á la consideración delosbiángulos; 

 otros comoBertrand, de Genova, fundándose en la relación de cier- 

 tas magnitudes infinitas, en que el ángulo es un infinito de se- 

 gundo orden y el biángulo, espacio encerrado por la secante y dos 

 paralelas, es un infinito de primer orden; y algunos, como La- 

 raarle han querido demostrar el postulado de Euclides, conside- 

 rando la rotación de una recta al rededor de un punto móvil; pero 

 todas estas demostraciones, ó son falsas, ó implícitamente suponen 

 un postulado, consecuencia inmediata del que se desea demostrar. 



3. Demostraciones indirectas. — Una segunda vía, que tampoco 

 ha dado buen resultado, consiste en demostrar una de las conse- 

 cuencias del postulado, como la proposición: que por un punto 

 sólo se puede trazar una paralela d otra recta dada, ó bien el 

 famoso teorema que los tres ángulos de un triángulo rectilíneo 

 valen juntos dos rectos. Legendre demostró que la suma no pasa 

 de dos rectos y que si existe un solo triángulo en que esa suma 

 valga dos rectos, lo mismo sucedería en todos los triángulos recti- 

 líneos posibles ; pero no pudo pasar más allá. 



El mismo geómetra pretendió la demostración directa, partien- 

 do de los triángulos que tienen un lado y los dos ángulos adya- 

 centes respectivamente iguales, y creyendo que el tercer án- 

 gulo era independiente de ese lado, lo que motivó una viva discu- 

 sión; lo mismo que la otra demostración que dedujo, construyendo 

 una serie de triángulos, en que dos de los ángulos tendían á 

 cero. 



Otros matemáticos, admitiendo que el área de un plano indefi- 

 nido equivale al espacio encerrado por cuatro ángulos rectos, con- 

 sideraron los ángulos externos de un triángulo, haciendo girar 

 cada lado prolongado alrededor de su vértice hasta confundirse 

 con el lado inmediato; ó bien estudiaron el espacio encerrado por 

 los lados del triángulo prolongados indefinidamente por ambos 



