GEOMETRÍAS IMAGINARIAS 25 



extremos; pero tanto estas demostraciones como las de Canter y 

 otras carecen del rigor matemático, ó bien suponen postulados 

 menos claros que el de Euclides. 



4. Geometría de Lowatschewski. — Los geómetras del Norte de 

 Europa, á principios de este siglo, dieron un ataque tremendo 

 al postulado de Euclides, que si bien resistió impertérritamente, 

 se conmovió hasta los cimientos el edificio geométrico, á tal pun- 

 to, que los matemáticos emocionados temieron por la estabilidad 

 de verdades seculares, cuja exactitud se cree eterna. 



En efecto, el matemático ruso Lowatschewski^ de Kazan, se dijo: si 

 el postulado depende délos demás axiomas geométricos, admitien- 

 do estos V negando aquél, debe llegarse á proposiciones contra- 

 dictorias. Gomo la consecuencia inmediata del referido postulado, 

 es que por un punto sólo se puede trazar una paralela á una recta 

 dada, el geómetra ruso admitió que por un punto se pueden trazar 

 muchas paralelas á una recta dada. Las consecuencias eran con- 

 trarias á la de la Geometría de Euclides; asi: los tres ángulos de un 

 triángulo valían menos de dos rectos; las tres perpendiculares en el 

 medio de los lados de un triángulo pueden ser paralelas y así mul- 

 titud de teoremas, que aunque distintos de los actuales, sin em- 

 bargo no tenían contradicción entre sí. 



Tanto el matemático húngaro Juan Bolyai como Gauss en su 

 correspondencia con Shumacher, admitieron las consecuencias ló- 

 gicas del geómetra ruso; se llamó á esta Geometría imaginaria 

 j se promovió la cuestión, de cuál era la verdadera, si la del 

 matemático alejandrino ó la del ruso, y además, siendo las conse- 

 cuencias infinitas, ¿quién podía asegurar que no viniera la con 

 tradicción en la nueva Geometría? 



5. Geometría de Riemann. — La cuestión no había terminado y 

 avanzó inmensamente, cuando Riemann, geómetra alemán, acep- 

 tando las ideas de Lowatschewski, lomó como postulado que por 

 un punto no se puede trazar ninguna paralela á una recta dada. 

 He ahí una tercera Geometría, distinta de las anteriores, cuyas con- 

 secuencias son también diferentes; así: los tres ángulos de un trian- 

 guio valen más de dos rectos; existe?! puntos de que se pueden bajar 

 muchas perpendiculares á una recta; hay casos en que: por dos 

 puntos pueden pasar muchas rectas; es decir: que las rectas de esta 

 Geometría siempre se cortan en dos puntos. 



