26 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Este segundo ataque dirijido contra el postulado de Euclides, 

 no sólo fué incapaz sino que enderezando el edificio geométrico, 

 mostró que sus bases tienen la suficiente estabilidad y en lugar 

 de seguir el consejo que da Félix Dauge en su Metodología 

 Matemática, de evitar hablar á los principiantes en términos que 

 les haga creer que la Geometría no reposa sobre bases inataca- 

 bles, es mejor la opinión de H. Poincaré, que es necesario de- 

 mostrar que la Geometría Euclidiana no tiene nada que temer, ni 

 de las experiencias nuevas, ni de las hipótesis del porvenir. 



6. Geometría esférica . — Los trabajos de Riemann, á mediados 

 de este siglo, han inspirado la mayor parte de las investigaciones 

 recientes, entre las cuales pueden citarse las de Beltrami y de von 

 Helmholtz, así como la tarea, que otros se han impuesto, de dar 

 á conocer estos resultados, como J. Houel que ha traducido del 

 alemán el Estudiosobre la teoría de las paralelas por Lowatschewski 

 y del italiano el Ensayo de interpretación de la Geometría no eucli- 

 diana por E. Beltrami. 



Los primeros indicios de explicación los proporcionó, como he 

 dicho, la Geometría de Riemann, porque sus teoremas, referidos á 

 las rectas, son los mismos que se conocían para los círculos máxi- 

 mos de una esfera, pues no es posible por un punto de la esfera 

 trazar un círculo máximo paralelo á otro, siempre se cortan en 

 dos puntos diametralmente opuestos y del polo de un círculo má- 

 ximo se le pueden bajar infinidad de círculos máximos perpendi- 

 culares; finalmente, hace siglos que se sabe, que en un triángulo 

 esférico los tres ángulos valen más de dos rectos, siendo el exceso 

 esférico, igual al área del triángulo dividida por el cuadrado del 

 radio de la esfera. 



Las necesidades déla Astronomía, Geodesia y Navegación habían 

 obligado desde la más remola antigüedad á estudiar los triángulos 

 esféricos; pero éstos no son las únicas figuras que se pueden con- 

 siderar sobre la esfera; solamente á fines del siglo pasado, los 

 geómetras del Norte de Europa se ocuparon de resolver sobre la 

 superficie de la esfera cuestiones análogas á las que se proponen 

 sobre el plano. 



Lexell, en las actas de San Petersburgo, trató de las propiedades 

 de los círculos descritos sobre la esfera, análogas á las que tienen 

 los círculos construidos sobre el plano; indicando el elegante teo- 

 rema, sobre la curva, lugar geométrico, de los vértices de los trian- 



