GEOMETRÍAS IMAGINARIAS 29 



ble del todo, cuando las superficies flexibles tienen iguales los ra- 

 dios de curvatura de las secciones principales, esta superficie es la 

 esfííra y entonces el producto citado es R~. 



Cuando R es infinito se tiene el plano j las figuras trazadas sobre 

 él, constituyen la Geometría de Euclides. Cuando R es real y finita, 

 resulta la esfera, y las figuras construidas sobre ella forman la Geo- 

 metria de Riemann. Finalmente si R es imaginaria y por lo mismo 

 su cuadrado negativo, aparece la superficie llamada pseudo-esfera, 

 y las figuras formadas sobre ésta dan lugar á la Geometría de Lo- 

 watschewski, como lo demostró Beltrami, que en estas superficies 

 los ángulos de un triángulo valen menos que dos rectos y el defecto 

 esférico es igual al área del triángulo, dividida por el cuadrado del 

 radio, y que trazando una línea geodésica, existe siempre por un 

 punto cualquiera de la superficie una asíntota, que separa las lí- 

 neas secantes de aquellas que no cortan á la referida línea geodé- 

 sica ; todas pasan por ese punto y el geómetra ruso las consideró 

 como paralelas, supuesto que prolongadas al infinito no cortan ala 

 geodésica, estas curvas del espacio las representó como rectas sobre 

 el plano, de manera que sus razonamientos, realmente, se referían 

 alas pseudo-circunferencias, que son hipérbolas equiláteras, tra- 

 zadas en un plano perpendicular al plano de una circunferencia ; 

 en este plano trazaba Lowatschewski sus rectas representativas de 

 esas hipérbolas equiláteras normales. 



8. Otras Geometrías imaginarias. — Después de los importantes 

 trabajos que acabamos de citar, se han explorado dos vías : la pri- 

 mera se encamina á los principios fundamentales de la Geometría 

 y por lo tanto se dirige á la Filosofía de las ciencias ; la segunda 

 lleva por objeto generalizar las interpretaciones que se han dado 

 á las Geometrías no euclidianas, y por lo mismo su dirección es pu- 

 ramente matemática . 



A.SÍ, algunos geómetras, considerando que la rotación en su plano, 

 de la mitad de un arco de círculo, al rededor del punto medio, no 

 coincide con la otra mitad, por encontrarse entre sí las concavida- 

 des ó convexidades y como para demostrar que se puede siempre 

 levantar en un punto una perpendicular á una recta, se considera 

 una recta móvil al rededor del punto, primitivamente confundida 

 con la recta fija y después gira hasta coincidir con la prolongación ; 

 admitiendo como posible la rotación y rechazando que se puedacon- 

 tinuar hasta que las dos rectas se confundan en la prolongación, 



