30 ANALES DE LA SOCIEDAD CIEísTÍFICA ARGENTINA 



haa constituido una cuarta Geometría, tan coherente como las tres 

 anteriores; pero sus teoremas son mucho más extraños que los de 

 Lowatschewski y de Riemann ; tal como una recta real puede ser 

 perpendicular á si misma; las oblicuas que equidistan del pie de la 

 perpendicular son desiguales. Loque ha motivado una discusión re- 

 ciente en 1889 por los señores Renouvier, Léchalas y Calinon, bajo 

 el nombre de postulado de perpendicularidad. 



El mismo Riemann ha constituido una infinidad de geometrías 

 diferentes, según la manera cómo se defina la longitud de una cur- 

 va. Como el número de axiomas implícitos en las demostraciones 

 clásicas es mayor que el necesario, sería bueno reducirlos al míni- 

 mo; pero entonces se presenta la cuestión : primeramente, siespo- 

 sible esa disminución, y en segando lugar, si el número de axiomas 

 necesarios y el de geometrías imaginables no es infinito ; pero Sop- 

 hus Lie ha demostrado el siguiente teorema, admitiendo : 1° el es- 

 pacio de n dimensiones; 2° el movimiento de una figura invariable 

 es posible; 3° se necesitan p condiciones para determinarla posi- 

 ción de esta figura en el espacio ; entonces: el número de geometrías 

 compatibles con estas premisas será limitado ysiendo n dado se pue- 

 de asignar áp un límite superior y por consiguiente es finito el nú- 

 mero de geometrías de tres dimensiones, muchas de las geometrías 

 de Riemann son puramente analíticas y no se prestan á demostra- 

 ciones análogas alas de Euclides. 



H. Poincaré, discutiendo la naturaleza de los axiomas geométri- 

 cos, llega á la conclusión que no ?,on juicios sintéticos, ni hechos 

 experimentales, porque sería imposible negarlos y no cabe la expe- 

 riencia sobre rectas y circunferencias ideales. Según ese geómetra 

 son convenciones y la elección en todas las posibles es guiada por 

 los hechos experimentales; pero permanece libre solamente limi- 

 tándola la necesidad de evitar contradicción, es decir, que los axio- 

 mas de geometría son definiciones disfrazadas. 



9, Geometría de las superficies. — La segunda vía, como hemos 

 dicho, se refiere á la Geometría de las superficies; como se sabe, 

 en cada punto de una superficie se puede trazar generalmente un 

 plano tangente y una normal, trazando planos que pasen por ésta, 

 resultan diferentes secciones normales, se llaman principales las 

 que tienen mayor y menor radio de curvatura y según el teorema 

 de Euler se expresa el radio de curvatura de una sección normal 

 en función de los radios de las principales, llamándose el punto 



