GEOMETRÍAS IMAGINARIAS 31 



uü ombligo, cuando todas las secciones normales tienen igual cur- 

 vatura ; en cuanto á las secciones oblicuas, mediante el teorema de 

 Meunier, se determina su radio de curvatura, porque es la proyec- 

 ción del radio de la sección normal que pasa por la misma tangente . 



Tomando dos puntos sobre la superficie, se concibe que entre 

 ellos se puede trazar una línea que sea la más corla, la que se llama 

 l'mea geodésica, cuyo plano osculador pasa por la normal. Cada 

 superficie tiene una Geometría propia, las líneas geodésicas corres- 

 ponden á las rectas del plano y á las circunferencias máximas en 

 la esfera. Existen propiedades comunes para todas estas geometrías ; 

 así el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de uno 

 de la superficie es normal á las geodésicas que forman los radios 

 y si se traza la curva, que corresponde á la elipse ó hipérbola, la 

 línea geodésica tangente es la bisectriz del ángulo de las geodési- 

 cas, que forman los radios vectores. 



Ya hemos dicho que la Geometría de la esfera y de la pseudo- 

 esfera han sido estudiadas detenidamente, lo mismo la Geometría 

 del hiperboloide de una hoja, ha sido considerada desde 1847 por 

 Plückerypor Chasles en 1861. En las superficies de segundo grado, 

 el producto de la perpendicular bajada del centro sobre el plano 

 tangente, multiplicada por el diámetro de la sección central, para- 

 lelo á la tangente de la geodésica es constante, este producto es el 

 mismo para todas las líneas geodésicas que pasan por un ombligo; 

 las geodésicas que unen un punto cualquiera á dos ombligos hacen 

 ángulos iguales con las líneas de curvatura que pasan por este 

 punto, y el referido producto tiene el mismo valor para todas las 

 geodésicas tangentes á la misma línea de curvatura y así multitud 

 de propiedades, que representándolas sobre el plano, conducen á 

 teoremas, que no coincidirían con los de la Geometría de Euclides ; 

 aunque otros estarían en conformidad, porque las líneas de curva- 

 tura, las líneas geodésicas, las líneas de nivel y las líneas de máxi- 

 ma pendiente gozan de muchas propiedades comunes con las rectas, 

 que las representan en el plano. 



10. Geometría más cómoda. — De lo anterior se deduce, en con- 

 clusión^ que ninguna Geometría puede ser más verdadera que otra, 

 únicamente pueden ser más cómodas y bajo este punto de vista la 

 Geometría de Euclides es y será la que ofrezca más comodidades, ya 

 porque es más simple, ya porque se coordina bastante bien con las 

 propiedades de los sólidos naturales. 



