GEOMETRÍAS IMAGINARIAS 69 



Ahora bien, la recta QM ha entrado en el triángulo ACD, ya cortó 

 al lado AD en M, no puede cortar á AC, porque habiendo cortado á 

 QP en Q, que está fuera del triángulo, no puede volver á cortarla 

 dentro de él ; luego cortará al tercer lado CD y por lo mismo es se- 

 cante y QB es todavía paralela enQ. 



Sea, en segundo lugar, el punto S, bajemos la perpendicular ST, 

 tomemos AF tan pequeño como se quiera y tracemos la recta SF, 

 que se desvía de la SB; construyase el ángulo BAD igual á ASF y 

 AD cortará á CD por desviarse en el punto A de la paralela AB. 



Ahora bien, la paralela SF ha entrado al triángulo ACD, ya cortó 

 á AC en F, no puede cortar á AD por la igualdad de los ángulos, lue- 

 go tiene que atravesar al lado CD en X y por lo mismo es secante y 

 SB es todavía paralela en el punto S á la recta TD. 



14. Teorema II. — Dos rectas son siempre reciprocamente para- 

 lelas. 



Sea AB paralela á CD y bajemos la perpendicular AC, decimos 

 que también CD es para- 

 lela á AB, es decir que «.^ 

 trazando la recta CE, que 

 se desvía de CD corta á la 

 recta AB . 



En efecto, bajemos la 

 perpendicular AP y como 

 AC es hipotenusa del tri- 

 ángulo rectángulo ACP, 



será mayor que AP. Hagamos girar el ángulo BAP hasta que AP 

 coincida con AQ, entonces AB toma la posición AL y habiéndose 

 desviado en A, corta á la paralela en D. 



La recta CE, toma la posición QH perpendicular á AC y como está 

 dentro del triángulo ACD y no puede cortar á CD por la igualdad 

 de los ángulos rectos en Q y en C, tendrá que cortar al lado AD en 

 L; volviendo la figura á su primera posición, AD coincide con AB y 

 QH cae sobre CE y el punto L estando sobre las dos rectas, resulta 

 que CE corta á AB y por lo tanto CD es paralela á AB en el punió C. 



15. Teorema III. — La suma de los tres ángulos de un triángulo 

 no puede pasar de dos rectos. 



Sea el triángulo ABC, admitimos que los ángulos ABC -j- BAC -f 

 ACB > 2R. Tomando CE = EF = . . . = BC, construyamos los 



