GEOMETRÍAS IMAGINARIAS 



71 



gaa los lados 4,8,..., veces mayor, sumando siempre sus tres án- 

 gulos 2 rectos. 



2° Si un triángulo tiene un ángulo común con el que sus án- 

 gulos suman dos rectos, también los 

 ángulos de aquél sumarán dos rectos. 



Sea BAC el triángulo que tiene el 

 ángulo común con PAQ; duplicando 

 sucesivamente los lados del primero, 

 llegaremos al triángulo AMN, que tiene 

 los lados mayores que el PAQ y además 

 por la demostración anterior, los ángu- 

 los A -f- M -f- N = 2R. 



Tracemos la recta MQ y sumemos los 

 ángulos de los tres triángulos APQ, 



PQM y MQN, tendremos que se reducen á los ángulos en P, 

 más los ángulos en Q, más los ángulos del triángulo AMN, que 

 valen dos rectos; luego todos valen seis rectos ; es decir : 



APQ + AQP + PAQ ] 



MPQ + MQP + PMQ = 6R 



QMN + MQN 4- MNQ ) 



y como cada suma parcial no pasa de dos rectos, es preciso que ca- 

 da una valga los dos rectos, es decir, que los ángulos del triángulo 

 APQ valen dos rectos. 



3° Con estos dos lernas^ vamos á demostrar que los ángulos d© 

 un triángulo cualquiera abe, valen dos rectos, 

 si esta suma es la de los ángulos de un trián- 

 gulo ABC . 



Como los ángulos de abe no pasan de dos 

 rectos, cuando menos un ángulo de éste debe 

 ser menor que uno del ABC, en el caso de 

 que los tres ángulos, no sean respectivamente 

 iguales . 



Sea el ángulo bac < BAC, entonces cons- 

 truyamos el ángulo baf = BAC y tracemos la 

 recta cualquiera bf. Entonces el triángulo ABC 

 y el baf, tienen el ángulo A común, luego los ángulos del triángulo 

 6a/ valen dos rectos. 



Ahora bien, los triángulos abf y abm, tienen el ángulo en b co- 



