geometrías imaginarias 



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I os anteriores, suprimiendo los en E que valen 2R sera 2R — a — p. 



También tenemos para la suma de los ángulos del triángulo ACG 

 el valor R — a -{- b -\- B., igualando con lo anterior resulta a -j- P = 

 a — 6. 



Acercándose AG á la paralela AB, el ángulo a tiende á cero y por 

 el teorema anterior b también tiende á cero, en el límite a -f- ^= O, 

 luego a = O y ¡3 = O y los tres ángulos del triángulo rectángulo AGE 

 igual á 2R, cuando el ángulo del paralelismo es recto y cualquiera 

 que sea la distancia AC. 



19. Teorema VIL — Si el ángulo de paralelismo no es recto, los 

 tres ángulos de un triángulo rectilíneo valen menos que dos rectos. 



Razonando, como antes, tenemos los ángulos del triángulo AGE 

 igual á 2R — a, los del triángulo 

 AEG igual á 2R - ¡3, de donde 

 los del triángulo rectángulo AGG 

 igual á 2R — a — ^. 



Pero también tenemos para los 

 ángulos del último triángulo : 

 V {d) — a -\- b -\- B.; é igualando 

 con lo anterior resulta : a -\- ^ = 

 a — 6 + R — P (cT) ; en el límite 

 se tiene que a + ¡3 = R — P (,£¿) ; 

 luego a y ¡3 no son nulos y depende 

 su valor de la distancia d y los 



tres ángulos del triángulo AGE valen menos que dos rectos y toda- 

 vía menos los del triángulo rectángulo AGG. 



La hipótesis del teorema anterior es el fundamento de la Geome- 

 tría euclidiana y de la Trigonometría plana, y la hipótesis de este 

 teorema puede ser igualmente admitida sin conducir á contradic- 

 ción en los resultados, es la base de la Geometría no euclidiana y 

 de la Trigonometría pseudo-esférica. 



20. Teorema flIL — Dado un ángulo agudo cualquiera se puede 

 hallar una distancia tal, para que ese ángulo sea el del paralelismo. 



Sea ABG el ángulo agudo dado, tomemos un punto Q y bajemos 

 la perpendicular QP, hagamos PP' = BP y levantemos la perpen- 

 dicular P'Q'; hagamos P'P" — BP' y tracemos la perpendicular 

 P"Q" ; siguiendo así, llegaremos á un punto G, en que la perpen- 

 dicular CN no cortará á BA. 



