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ANALES DE. LA SOCIEDAD CIEKTIFICA ARGENTINA 



En efecto, los ángulos del triángulo BQP valen 2R — a; los del 

 triángulo igual QPP' también valen 2R— a; luego los del trián- 

 gulo BQP ' valdrán 2R — 2a y los ángulos del triángulo rectángulo 

 BP 'Q ' valdrán menos que 2R — 2a, porque hay que añadir los án- 

 gulos del triángulo QP 'Q ', que valen menos que dos rectos y su- 

 primir los dos rectos de los ángulos Q. 



Del mismo modo los ángulos del triángulo Q'P'P" valen menos 



que 2R — 2a por ser 

 igual al anterior y los 

 del triángulo BQ'P" va- 

 len menos que 2R — 4a 

 y con más razón los del 

 triángulo rectángulo 

 BP"Q". 



Continuando así, lle- 

 garemos á un triángulo 

 que sus ángulos valgan 

 menos que 2R — 2?za, tomando n bastante grande, la perpendi- 

 cular á BG no cortará á BA, pues se tendría un triángulo, cuya 

 suma de ángulos sería negativa. 



Si esta perpendicular es CN, que no corta á la BA, habrá una TU, 

 que separa las secantes de las no secantes y ésta será la paralela ; 

 pues trazándola TZ desviada y bajando de Z la perpendicular P"Q", 

 que es secante, la recta desviada TZ, que ha entrado al triángulo 

 BQ"P", cortará ala BA. 



Cuando disminuye la distancia BT = cí el ángulo del paralelis- 

 mo ABC aumenta ; si d tiende á cero ese ángulo se acerca al recto 

 y cuando d tiende al infinito, el ángulo de paralelismo se acerca á 

 cero. 



21 . Teorema IX. — En la Geometría no euclidiana, no puede haber 

 semejanza sin igualdad. 



Si los triángulos ABC y BAE tienen 

 igual el ángulo en A, como los ángulos 

 del primero valen 2R — a y los del BCE 

 valen 2R — 3, sumando y restando los 

 dos rectos del punto C, los ángulos del 

 triángulo BAE valen 2R — a — |3 y por 



consiguiente no pueden ser equiángulos y la semejanza no 



existe. 



