GEOMETRÍAS IMAGINARIAS 75 



22. Teorema X. — En la Geometría imaginaria se pueden dismi- 

 nuir los tres ángulos de un triángulo indefinidamente, aumentando 

 los lados . 



Sea AC una recta y del punto 

 D las paralelas DE y DF, tra- 

 zando las secantes DA y DC, se 

 forma un triángulo ; pero 

 acercando las secantes á las 

 paralelas, los ángulos de la 

 base A y C disminuyen inde- 

 finidamente. 



Ahora bien, aumentando la distancia DB el ángulo del parale- 

 lismo BDF y BDE puede disminuir hasta cero ; luego los tres ángu- 

 los pueden decrecer indefinidamente. 



23. Otros teoremas. — Del mismo modo se pueden demostrar los 

 siguientes teoremas : 



1° Cuando dos rectas paralelas se prolongan, su distancia va 

 disminuyendo hasta cero, de modo que presentan el carácter de 

 asíntotas; 



2° Dos rectas paralelas á una tercera son paralelas entre sí; 



3° En un triángulo las perpendiculares levantadas en el punto 

 medio de cada lado no se encuentran, ó se encuentran en un 

 mismo punto ; 



4° Si dos de las perpendiculares anteriores son paralelas, también 

 lo es la tercera ; 



5° Si una circunferencia se divide en n partes iguales y se 

 trazan las tangentes, éstas se cortan y forman un polígono, cuando 

 el radio es pequeño; pero si el radio es bastante grande las tangen- 

 tes no se corlan ; 



6° El ángulo extremo de un triángulo tiene por límite dos rectos, 

 menos el doble del ángulo de paralelismo. 



Basta estos ejemplos para tener una idea de esta Geometría ; en 

 cuanto á la de Riemann es suficiente considerar las demostraciones 

 comunes que se dan de los triángulos esféricos, si en lugar de tra- 

 zar curvas los indicásemos por líneas rectas. 



