GEOMETRÍAS IMAGINARIAS 77 



verifique en las dos partes de la línea uniforme, lo que equivale á 

 decir, que por dos puntos de un plano sólo pasa una recta y que por 

 un solo punto pasan muchas, porque este punto y el que está en el 

 infinito que cierra el plano son los conjugados por donde pasan 

 multitud de líneas de curvatura nula. 



Las superficies uniformes se llaman de curvatura positiva si las 

 generatrices son de uniformidad real, nula si las generatrices son 

 de esta clase, y curvatura negativa si las generatrices tienen unifor- 

 midad ideal. 



26. Volúmenes. — La distancia entre dos puntos de una superfi- 

 cie de curvatura uniforme se mide por la generatriz que pasa por 

 aquellos puntos, porque es la más recta ; pero si los puntos están en 

 el espacio, la distancia se mide por la recta, esto es, por la línea de 

 curvatura nula, porque es la única en su grupo y además es la más 

 corta de todaslas líneas uniformes. 



Se llama radio la mitad de la distancia en el espacio de los dos 

 puntos por donde pasan todas las generatrices completas de una su- 

 perficie de curvatura uniforme, este radio es real para la esfera, w- 

 finito para el plano, ideal para la pseudo esfera. 



Aumentando el radio de un modo continuo se engendran super- 

 ficies uniformes que constituyen el espacio ; si el radio es real ó 

 ideal, cada superficie sucesiva tiene curvatura positiva ó negativa 

 distinta, desde cero hasta más ó menos infinito ; pero si el radio es 

 infinito todaslas superficies que engendran el espacio son planos. 



Se puede tomar como origen de los radios, es decir como centro, 

 los punios de una línea de igual curvatura y engendrar el espacio 

 nuevamente por diferentes sistemas de superficies, que se cortan 

 mutuamente, según líneas de curvatura uniforme rectas si la línea 

 de los centros está en el infinito, circunferencias reales ó ideales si 

 aquel lugar geométrico es finito. 



Además, se puede tomar una segunda línea de curvatura unifor- 

 me, como lugar de nuevos centros y por esta tercera generación del 

 espacio cortar á los anteriores sistemas de superficies en líneas uni- 

 formes; éstas cortan alas anteriores en dos puntos, que pueden ser 

 reales ó ideales para las superficies esféricas y pseudo-esféricas, es 

 la intersección de tres esferas ; ó bien estar esos puntos en el infi- 

 nito, es la intersección de tres planos. 



27. Geometría general. — La Geometría general es, pues, la esfé- 



