GEOMETRÍAS IMAGINARIAS 79 



radio, los tres ángulos de un triángulo valen más de dos rectos; 

 cuando r es infinito se tiene en el plano que los tres ángulos valen 

 dos rectos, j cuando res ideal resulta para la Geometría imaginaria 

 que tres ángulos de un triángulo valen menos que dos rectos. Se 

 concibe, en generalj que un triángulo pueda tener á lo menos un 

 ángulo recto rectángulo; ó un obtuso, obtnsangulo; ó todos agudos, 

 acutángulo. 



30. Clasificaciones. — Como las líneas de curvatura uniforme 

 son cerradas y siempre se cortan en dos puntos por donde pasa un 

 sistema de generatrices de la superficie, resulta, que siempre hay 

 dos sistemas de ángulos iguales respectivamente^ opuestos por el 

 polo, siendo, en general, cuatro agudos, iguales, y cuatro obtusos 

 también iguales y en particular los ocho ángulos rectos. En el plano, 

 un sistema está en el infinito, porque allá se encuentra el otro 

 polo. 



Lo mismo para los triángulos, habiendo tres líneas de curvatura 

 uniforme, hay seis intersecciones y dividen á toda la esfera en ocho 

 triángulos, que en virtud de la fórmula anterior son iguales dos 

 á dos, triángulos polares, y los cuatro triángulos desiguales, tienen 

 cada uno un lado y un ángulo de los otros tres; si el triángulo tiene 

 dos ángulos iguales, resultan tres sistemas: uno de cuatro trián- 

 gulos iguales y dos sistemas polares; si los tres ángulos son igua- 

 les se convierten los ocho triángulos en dos sistemas de cuatro 

 triángulos iguales cada uno. 



En la esfera, además, como los tres ángulos de un triángulo va- 

 len más de dos rectos, puede haber dos ángulos rectos, birectán- 

 gulo, resultando dos sistemas de cuatro triángulos iguales y tam- 

 bién puede tener un triángulo tres ángulos rectos, trirectángulo , 

 en cuyo caso todos los ocho triángulos son iguales. 



De todo esto carece la Geometría plana por tener un polo en el 

 infinito, allá esta el triángulo polar, lo mismo que un ángulo á 

 un lado délos otros seis triángulos y por valer precisamente los 

 tres ángulos dos rectos no hay birectángulo, ni trirectángulo ; ni 

 menos dos ó tres ángulos obtusos, como sucede en la esfera, donde 

 existen todos los casos posibles. 



La fórmula para los ángulos apreciados en grados es : 



T 2R 

 A -I- B -f C — 2R = -, . — • 



