80 ANALES DE- LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



1 ° Si el área del triángulo T = 2irr2, mitad de la esfera : A + B -j- 

 C — 2R = 4R, como éste es un límite, resulta que los ángulos no 

 pasan de seis rectos ; 2° Si el triángulo T ^= r^r-, cuarta de la esfera: 

 A +B + C — 2R = 2R, es otro límite para la pseudo-esfera, para 

 que la suma no sea negativa, los tres ángulos llegan á ser nulos ; 



3° Si el triángulo T= - xr', octava de la esfera: A + B + C—2R=R, 



la suma de los ángulos en la Geometría imaginaria valen un recto, 

 y es imposible la existencia de los triángulos rectángulos, que sólo 

 existen para triángulos pequeños. 



31 . Igualdad de triángulos. — En la igualdad de triángulos se 

 tif-nen cuatro casos : 1° Cuando son iguales respectivamente los 

 tres lados de dos triángulos; 2° cuando lo son dos lados y el ángulo 

 comprendido; 3° cuando se tiene un lado y los dos iguales adya- 

 centes; y i°, finalmente, cuando son iguales los tres ángulos res- 

 pectivamente ; este último caso se deduce áe\ triángulo suplemen- 

 tario, que se forma trazando círculos máximos, cuyos polos son 

 los vértices^ sus ángulos son suplementos de los lados y recípro- 

 camente. 



La Geometría plana carece del cuarto caso, que se transforma en 

 la teoría de la semejanza, que no admite la esférica, ni la pseudo- 

 esférica, sino en superficies distintas de la misma clase. 



La Geometría ideal, también tiene su particularidad; como los 

 tres ángulos valen menos de dos rectos, pueden disminuir indefi- 

 nidamente los tres, lo que no sucede en las otras dos geometrías ; 

 pero en la esfera pueden hacerlo los tres ángulos exteriores. 



Si en la misma esfera no hay semejanza sin igualdad, puede 

 haber ésta sin ser posible la superposición, constituyendo la teoría 

 de la simetría, cuando dos triángulos están á distinto lado de una 

 línea de curvatura uniforme, formando con ésta los ángulos igua- 

 les, porque al voltear, queda lo cóncavo ó bien lo convexo enfrente, 

 lo que no sucede en el plano, por no existir diferencia en la forma 

 de las-caras. 



Por lo demás, es común para las tres geometrías, la relación en- 

 tre lados y ángulos, oponiéndose los mayores álo& menores de esos 

 elementos; lo mismo que la igualdad dedos ó tres lados arrastra 

 la de los ángulos opuestos y al contrario. 



32. Paralelismo. — Pasemos al paralelismo considerando el 



