GEOMETRÍAS IMAGINARIAS 81 



triángulo esférico, siendo los catetos las líneas de curvatura uni- 

 forme b, c, se tiene por la Trigonometría Esférica : 



tang- 



tang B = - 



sen- 

 r 



Siendo B el ángulo del paralelismo; cuando b so6re r varía de 

 cero á un cuadrante, B cambia de 0° á 90°; cuando b sobre r va- 

 ría de un cuadrante á dos, B también cambia de 90° á 180°; luego 

 B ha formado todos los ángulos posibles y la hipotenusa a siem- 

 pre ha cortado al cateto b; así no existen paralelas en la Geometría 

 esférica, porque dos líneas de curvatura uniforme ó igual siempre 

 se cortan en dos puntos. 



Cuando r es infinito, los dos términos del quebrado son nulos y 

 por la teoría infinitesimal podemos reemplazar esos infinitamente 

 pequeños por otros, que son los arcos y suprimiendo en ambos tér- 

 minos la r : 



tang B = -• 



Fórmula de la Trigonometría plana, cuando 6 es infinita, B es 

 recto, cualquiera que sea la distancia c, el ángulo del paralelismo 

 es recto y sólo hay una paralela por un punto en la Geometría 

 plana. 



Cuando r es ideal, tendremos por la teoría exponencial, por las 

 fórmulas de Euler. 



_ '— 

 b 1 1 — e '• . c 1 / £ -í\. 



lang —.=1^ 2h ' sen — = —-. le'- — e 7 , 



1 -h e '■ 



sustituyendo en el quebrado, simplificando y haciendo b infinita 



_ 26 



2 \ e '' 2 



tang B = — -^\ tang B = — \ 



gr _ g r ^ _|_ g 7- QV g 7- 



de manera, que el ángulo B es agudo cuando las líneas a, b son 



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