GEOMETRÍAS IMAGINARIAS 83 



Si un punto de simple intersección se confunde, necesariamen- 

 te lo acompañan 2 m, siendo m el número de líneas que pasan ya 

 por el otro punto comprendido, en el plano y pseudo-esfera es la 

 mitad. 



En la Geometría general de dos dimensiones existen polígonos 

 polares, suplementarios y simétricos, desde que se pueden descom- 

 poner en triángulos por diagonales; pero no existen polígonos seme- 

 jantes ni figuras de lados paralelos como el trapecio, paraleló- 

 gramo, exágono regular, etc., que tienen uno, dos ó más pares de 

 polos conjugados en el infinito en la Geometría plana y en la 

 ideal. 



Los ángulos tienen por valor : 



S - 2 (n - 2) R = ^. 



Siendo S la suma de los ángulos centrales, n el número de lados, 

 R valor de un ángulo recto^ P área del polígono, r radio de la 

 esfera. 



S + C = 27rR + -,, 

 r~ 



C es la suma de los ángulos centrales ó externos, lo que se de- 



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 duce del número de diagonales que es - n {ii — 3), siendo en cada 



vértice n — 3. Como el número de triángulos es n — 2, las condi- 

 ciones que determinan un polígono son 2n — 3. 



En la Geometría general se tiene que la suma de los ángulos de 

 un polígono es mayor que tantas veces dos rectos, como lados tiene 

 el polígono menos dos ; en la Geometría plana es igual y en la Geo- 

 metría ideal es menor, de manera que en esta última debe ser pe- 

 queño P, es decir polígono, para que sea posible su existencia. 



35. Figuras suplementarias. — Para el triángulo suplementario 

 se tienen los lados por la fórmula. 



T 



a -\- b -\- c — circunf = j» 



luego la suma de los tres lados es menor que la circunferencia ge- 

 neratriz en la Geometría Esférica; es igual á la circunferencia en 



