GEOMETRÍAS IMAGINARIAS 131 



y lo mismo para los otros dos círculos exinscriptos : 

 tang {r . a) = sen p . tang] A; tang (r . b) = senp . tang -2 B. 

 Eliminando las tangentes de los ángulos, resulta : 



2 / X sen p . sen (p — 6) . sen (p — c) 



tang'' (r.a)=:z í- h1— — ^ — '- '- 



•° sen {p — a) 



g , ,, sen p . sen (p — a) . sen (p — c) 



tang'' (r.o) = ^^ — ^— r- — — - 



^ ' sen (p — 0) 



2 , , sen B . sen (p — a) . sen ip — b) 



tang** (r . c) = ^^í— — r — ^ -• 



sen (p — c) 



Multiplicando estas tres relaciones y extrayendo raíz cuadrada, 

 resulta : 



tang [r . a) . tang (r . b) . tang (r . c) = sen^ p . tang r". 



Lueg6 el producto de las tangentes de los tres radios de los circuios 

 exinscriptos es igual á la tangente del radio del circulo inscripto, 

 multiplicado por el seno cuadrado del semiperimetro del triángulo, 

 y también : 



tang r" = sen p . tang j A . tang 5- B . tang -5 C. 



Todas estas conclusiones se verifican en la geometría plana y en la 

 ideal, usando los métodos tantas veces repetidos : 



(r . a)(r . b) (r . c) = ph'" . 



48. Alturas y segmentos de las bases. — Si el punto medio del 

 ladodeun ti^iángulo equidista de los tres vértices, es evidente que, 

 si ese punto se toma como polo, el círculo menor pasa por los tres 

 vértices, y se saca fácilmente : 



sen^ I a= sen^ ^ ^ -h sen^ j c, 



que se convierte en el teorema dePitágoras, en la geometría plana, 



