FRACCIONES CONTINUAS 157 



Pero estas operaciones no son sino las necesarias para ob- 

 tener las reducidas, según la ley general de formación, de la 

 expresión : 



an + 



P„-i " 0.-1+ ■! 



an-2 + . 



+ 1 



«o- 



De un modo análogo, se deduce 



^^ - an + 



Q.-1 «n-1 + 1 



an-zA- ... 



ai. 



VIII. Las fracciones continuas ilimitadas pueden presentarse 

 bajo forma periódica; y si el período de elementos empieza con 

 el primero será periódica pura, y en caso contrario, periódica 

 mixta. 



Esta clase de fracciones tiene importancia en el estudio de las 

 raíces de una ecuación de segundo grado, mediante la siguiente 

 propiedad : « La raíz inconmensurable de una ecuación de segundo 

 grado de coeficientes conmensurables, puede expresarse bajo la forma 

 de fracción continua periódica » (^), 



IX. Aplicación. Desarrollo del número tz. — Se tiene : 



Tr = 3, 14 1592653 ... 

 Este número está comprendido elre otros dos consecutivos : 



3141592653 



m 



n '= 



109 

 314 1592654 



109 



(*) Esta proposición se conoce con el nombre de Teorema de Lagrange. Su 

 demostración completa en ; Longchamps, Algebre. 



