SOBRE LA CONSTRUCCIÓN 



DE UNA 



SUPERFICIE DEL TERCER ORDEN DE GRAPMAl 



Y 

 UNA AFINIDAD RECÍPROCA DEL TERCER GRADO EN EL ESPACIO 



En el Journal für reine und augewandse Matematik de Crelle, 

 tomo 49, Grapmann desarrolla su teoría de la multiplicación «es- 

 tereométrica », y enumera entre otras construcciones de la superfi- 

 cie del tercer orden la siguiente : 



« Sean dados tres puntos arbitrarios en el espacio, pero no en lí- 

 nea recta, y tres planos igualmente arbitrarios pero que no pasen 

 por la misma recta: Si un punto variable se mueve en el espacio 

 de modo que las líneas que lo unan á los tres puntos dados, 

 encuentren á aquellos tres planos en tres puntos situados en un 

 plano que pase siempre por un punto fijo, dicho punto variable 

 producirá una superficie del tercer orden. » 



Grapmann omite de observar que esta superficie no sea una 

 superficie general sino que posea un punto de tiodo allí donde los 

 tres planos dados se encuentran. 



Designemos los tres puntos dados con /",, f^, f^\ con7i|, zj, 713, los 

 tres planos; con a el punto fijo y con N el punto en que se encu- 

 entran aquellos tres planos (fig. 1). 



A un cierto punto x en el espacio corresponde un cierto pla- 

 no ^, que será el que pasa por los tres puntos en que se cortan 

 las tres líneas que unen á 00 y f^, fo, f^, con los tres planos da- 

 dos xj, 7:9,7:3; con esto quedará fijada su construcción (i). 



Inversamente: k un cierto plano ^corresponde un solo pun- 

 to X cuya construcción estará determinada de este modo: el pla- 



(1) Debe observarse que solamente á los puntos como x que forman una super- 

 ficie del tercer orden, corresponden planos como el ^ que pasan por el mis- 

 mo punto a. 



