SUPERFICIE DEL TERCER ORDEN DE GRAPMANN 159 



tiene un cono tangencial en N, á quien corresponde un cierto 

 punto en E ; este punto unido con N determina la recta busca- 

 da A. 



El punto nodal N está situado en todas las líneas A porque al 

 punto N, como punto a, corresponde un cono del tercer orden que 

 pasa por las tres B,, B2, B3. 



A fin de que hallemos las tres líneas (fuera de V^, P,, P3 ;) que 

 pasen por N, uniremos a con N. Esta recta encuentra al plano E 

 en un punió á quien corresponde una sección cónica ; esta á su vez 

 encuentra á la curva plana del tercer orden C3 (que aquel plano E 

 produce con F3) en seis puntos, tres de estos son los puntos p^ p^ p-¿ 

 en que las tres rectas P^, Pg, P3 encuentran el plano E^ los otros 

 tres restantes unidos con N producirán las tres líneas deseadas. 



Quiero demostrar ahora, abreviadamente cómo se hallarán las 

 tres rectas en cada plano %: 



Unamos a con fo, [^ por un plano ; este encuentra á tcj en la ter- 

 cera línea, según la manera de significación de Grapmann : {a f^ f^) 

 T^2, análogamente se obtendrán las líneas en los otros planos tt por 



Las 27 rectas se derivan también de un diseño muy semejante 

 al de Cremona. Un plano arbitrario a encuentra á la C3 (en E) en 

 tres puntos r,, r^, r^. El mismo plano encuentra á las tres Pj Pg P3 

 en tres puntos ^(', q-z' , q¿' no situados en línea recta (fig. 2). Estos 

 son los seis puntos del diseño. A cada uno de ellos le corresponde 

 una recta en F3. 



Entre estos seis puntos pasan 12 rectas distintas y á ellas tam- 

 bién le corresponderán rectas; igualmente á las tres secciones có- 

 nicas por los tres puntos r/,', q^' , qo/ , y k dos de los puntos r cor- 

 responderán rectas, de modo que en suma tenemos 21 rectas; las 

 seis restantes corresponden á las tres secciones cónicas doblemente 

 contadas por los tres puntos r^, r^, r.¿j dos puntos 9 ' ; á saber: 

 la línea de intersección Y de los planos cj y E posee tres puntos 

 comunes con la sección cónica y forma por consiguiente parte de 

 ella ; la restante es una recta que une un punto q ' con un punto 

 r, porque uno de los puntos r debe ser un punto doble de la sección 

 cónica. Estas tres pares de rectas forman así se/s líneas de comu- 

 nicación de los puntos q' con la rya antes contadas. 



El plano E encuentra á la F3 en una curva C3 ; esta es fija y para 

 los puntos f y p. Para ella está fijada la conocida construcción de 

 Grapmann (fig. 3). 



