460 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Los tres puntos /"forman el triángulo; los tres puntos 79 el trüa- 

 do. Esta curva C3 es independiente de la elección del punto a. 



Consideremos ahora la afinidad que nuestra construcción pro- 

 duce. 



Sabemos que á un punto a corresponde uiía F3, busquemos lo 

 que corresponderá á una recta. Supongamos que el plano ^ des- 

 cribe un haz al rededor del eje A; ios ? encontraran á cada uno de 

 los tres X en un haz de ravos cuyos centros están en los tres puntos 

 Si, Sz, «3 en que el eje A corta á los tres -k. Cada haz de rayos es 

 perspectívico con el haz de planos ^ ; por consiguiente los tres ha- 

 zos son proyectivos entre sí. Estos se dejan proyectar así, desde los 

 tres/", con tres hazes proyectivos de planos cuyos ejes son /"j s,, fo 



El resultado de este es una curva gausa R3 del tercer orden que 

 posee los tres ejes f s como bisecantes. Esta R3 pasa por N, porque 

 un plano que pasa por N encuentra á los tres tc en tres rectas que 

 pasan también por este punto y los tres planos correspondientes se 

 encontrarán en N.| 



Así hemos hallado que una curva gausa del tercer orden cor- 

 responde á una recta^ resultado que pudimos anunciar desde ya, 

 pues la correspondencia es del tercer orden: una F3 correspondien- 

 do á un punto a. 



Dos superficies F3 se encuentran según una curva gausa Re,; en 

 este caso esta degenera en una R^ siendo fija y una R3 ; es decir : 

 para un punto a queda determinada una F3, para otro punto ¿ij, 

 otra F3 y por lo tanto á la recta aa^ corresponderá la intersección 

 de las dos F3. Pero sabemos también que á una recta corresponde 

 una R3, por consiguiente el resto fí^ debe ser fijo. 



Y otra vez puede conocerse que R3 debe pasar por IS , es decir 

 las dos F3 deben tener en N un punto común doble, pues la 

 curva de intersección posee en N un punto cuádruple. Los dos 

 conos tangenciales en N se cortarán en cuatro generatrices, tres 

 de las cuales Pj, P2, Pg son fijas y la cuarta es variable y es tan- 

 gente en N, por consiguiente laRg pasará por N. 



La R3 está situada en todas las superficies F3 que corresponden 

 á los puntos de una recta, por lo tanto está situada en el cono 

 según las tres rectas P,, P2, P3. Este cono es del segundo orden 

 y encuentra al plano E en una curva Cj. La curva C2 encuen- 

 tra á la C3 (en E) en seis puntos, tres de los cuales ?>Qnp^pzPi 

 y por los otros tres para R3. 



